优化解析几何运算的一些方法

《优化解析几何运算的一些方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、优化解析几何运算的一些方法：高中学生在学习解析几何知识，在解决相关的问题时感到很困难。困难的主要原因，在知识体系中，就横向而言，解析几何本身所包含的定义、性质、解题方法繁多复杂，就纵向而言，它又和其它知识（如向量、不等式、二次函数等）之间联系很紧密，除此之外，解析几何是用代数的方法研究图像的问题，集中应用数形结合、方程思想，无论知识内容还是解题的方法，对学生而言都是很困难的。学生普遍遇到有些解析几何题会做，但用时很多，特别是在考试中，在有限的时间，不敢做。这是同学们很困惑的一件事，针对解析几何题目运算量大的问题，我想从以下一些

2、试题的解法中，谈一些个人的看法。　　关键词：题型、性质、方法　　：G633.63：A：1002-7661（2011）10-051-05　　　　　　直线和圆锥线相交的问题　　平时我们经常会遇到直线和圆锥线相交的问题。在解决这类问题时，一般是联立直线和圆锥曲线组成方程组，消x或y得到一个关于x或者y的一元二次方程组，形成两根之和，两根之积，Δ＞0，再把题中告知的有关条件，转化成两根之和，两根之积的关系(一般地,由Δ＞0确定范围或解决是否存在问题)，来解题。　　例1：在直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为，直线

3、与C交于A，B两点．（Ⅰ）写出C的方程；　　（Ⅱ）若，求k的值；　　解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线C的方程为．　　（Ⅱ）设，其坐标满足　　消去y并整理得，故．　　若，即．而　　于是，化简得，所以．　　还有一种是不能转化为两根之和，两根之积的关系，这时要根据题目的条件找到与之间的含参关系，代入两根之积两根之和，消、得到一个关于参数的方程或不等关系解决。　　例2:已知椭圆方程为，过定点的直线交椭圆于不同两点、（点在、之间），且满足，求的取值范围.　　解：当直线

4、斜率存在时，设直线的方程为　　代入椭圆方程得　　由得①　　设，，则，②　　又，，即③　　将③代入②得，　　消去得　　整理得　　由①得　　解得　　又　　又当直线斜率不存在时，方程为　　，，　　的取值范围是　　应该说大多数直线与圆锥曲线相关的问题都可以解决，能掌握到这个程度，同学们的解析几何能力已经很不错了。但有些题在后续的解决过程中，显得很繁琐。下面我讲一些方法在解决某类问题时作用很突出。　　一、设点做差法　　例3：如果椭圆的弦被点平分，求这条弦所在直线方程　　通法：设此直线为，这里要对斜率不存在先考虑，下一步自然　　会想到：消

5、整理得……..一个关于的一元二次方程　　　　由题意知：可以解得，求出此直线方程为：　　另解：设弦的两个端点为　　①②　　①—②得：整理得：　　　　所以直线方程为：　　此题解法还可以改进一些，设弦的一个端点坐标为，另一个端点坐标为　　则有：①②　　①—②并整理得：　　从此题的解法可以看出，设计到直线与圆锥曲线相关的中点弦斜率问题都可以用设点做差的方法。　　　　推广：①圆②椭圆③双曲线④抛物线　　圆①　　②　　①②　　　　　　　　椭圆　　①②　　①②　　　　双曲线　　①②　　①②　　　　抛物线　　①②　　①②　　　　二、回归定义　

6、　例4：如图，已知椭圆的左右焦点分别是，Q是椭圆外的动点，满足,点P是线段与该椭圆的交点，点T在线段上，并且满足,,求点T的轨迹方程　　　　　　　　　　解：　　又　　T是的中点　　T的轨迹方程为从此题可以看出两次用到定义，第一次用椭圆的第一定义，第二次用圆的定义，在高考中选择或填空题用到定义的例子很多，如：　　　　例5：设椭圆的两个焦点分别为,过　　作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为　　等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）　　AB　　CD　　解：　　则　　例6：方程表示的曲线是（）　　A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆　　　　

7、例7：已知的顶点B、C在椭圆上，　　顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在　　BC边上，则的周长是（）　　AB6CD12　　例8：设椭圆上一点P到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，若点满足,则　　　　　　　　　　　　　　解：　　又M是的中点　　　　三、用性质解题　　1、焦点三角形的性质解题　　①定义　　②性质　　　　　　　　　　　　　　　　结论结论　　焦点三角形的例子　　例9：已知双曲线的焦点为、，点在双曲线上，且，则点到轴的距离为（）　　A．B．C．D．　　　　　　　　　　　　　　解：　　∴，　　　　2、顶点三角形

8、的性质　　①定义：椭圆（或双曲线）上的一点和长轴（或实轴）两顶点组成的三角形叫做顶点三角形　　②定理1：若和的斜率分别为，，是离心率，则　　例10：、是双曲线的左右顶点，是双曲线上且异于、外的任意一点，和的斜率分别为和，求的取值范围.　　解：由双曲线的范围知，故由基本不等式得