探究：学生从知识课堂走向智慧课堂

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1、探究：学生从知识课堂走向智慧课堂“二项式系数的性质与应用”课例及其点评北京丰台二中张健学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。高中数学课程应力求通过各种不同形式的主学习、探宄活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。“二项式系数的性质与应用”是高中数学新课程《数学选修2-3》“U•数原理”中的一节内容。这节内容的

2、难度大，探宄性强，所渗透的数学思想方法较多，如何在教师的引导下，让学生通过自主探究、合作交流的学习方式“体验数学发现和创造的历程”？我们对这节课作了富有成效的尝试。1.课堂教学简录教师：二项式系数之间有什么关系？（学生沉思，没有回答）教师：研究数的变化规律，一般采用什么方法？学生2:从特殊到一般的方法。教师：“从特殊到一般”的基本思路是学生3:观察特例一找出规律一归纳猜想一给出证明。学生4:取n=l，2,3我发现：前后两个二项式系数都是1;与两端间距相等的两个二项式系数相等；当n为偶数时，中间一个二

3、项式系数最大；当n为奇数时，中间两个二项式系数最大。教师：真不错！一下就说出来三条性质。为了便于观察，我们可以对n’取不同值，得到二项式系数表（多媒体投影图1）:eg11教师：二项式的右侧的表是由左侧表计算得来的。二项式系数表构成了三角形图案，右侧这个三角形图案S早是由我国古代数学家杨辉发现的，所以又称“杨辉三角”，它比丙方的“帕斯卡三角”早300多年。教师：能用式子表示这些性质吗？学生5:Gnn=为偶数时，以最大；当n为奇数时，以Cnz?+l和c/（两者相等）最大。（有其他同学补充）教师：还有其它

4、发现吗？学生6:“杨辉三角”从第三行开始，每行的数都是先增后减。教师：怎么用数学符号表示？学生7:设C；

5、它两项（如图3）,于是有C^+C；=,或C:+C:1=C::;。教师：太精彩了！由于71是任意的，实际这两个等式是统一的。教师：这个性质非常重要！它可以使“杨辉三角”连续不断的写下去。你能说岀（6Z+/?）7各项的二项式系数吗？学生10:1,7,21，35，35,21,7，1。教师：还有其他发现吗？（学生沉思）教师：刚才我们探索了“杨辉三角”“局部”之间数的关系，若从“整体”上看呢？比如，把每一行的所有数赋予运算，所得的值是否有规律性呢？学生11:我把每一行的数都相加:第一行为1=2°；第二行为2=

6、2第三行为4=22；……于是第n行应为2'1。也就是+=2"。教师：真不简单呀！这个性质是通过归纳猜想得到的，怎么证明它呢？（学生沉思）教师：这个式子的“源头”在哪里呀？学生：二项式定理。学生12:我是这样想的，不知对不对！要用二项式定理证明这个等式，关键是把展开式各项中的字母6Z，/?化为1，于是令=6=就得证了。教师：大家认为她这样证明是否可以?学生13:可以。因为二项式定理对任意的6Z，Z?都正确，所以当6Z，/?都取1吋，推出的结论当然也是正确的。教师：是的！若一般情形成立，则特殊情形一定

7、成立。我们把这种代入特殊值来解决问题的方法，称为赋值法。把二项式定理中的6Z，/?赋予不同的特殊值，还能得到一些结论！学生14:令“=1，6=-1，WCZ?+C>C；+=C；+C>CZ^+•••o教师：其实用赋值法还能解决很多有趣的问题，请看下面例题：例1.己知(2%+V^)4=+tZjA-++ClyX^+Cl^X^f求(“0+Cl2+tz4)*■—(6Z,+)2的值。学生15:先令*=可得6f。+%+6f2+6f3+6f4=(2+a/^)4，再令X=—1，得6/()-6/,+^2-^+6/4=(V

8、3-2)再将所求的式子分解因式，代入这两个值，即可求得其值为1。教师：赋值法在这里起到了化难力易、化繁为简的作用。例2.证明：1+2C,1,+22C；+23C,>...+2MC二'=3"。学生16:在(1+2aT=l+2C>+22C>2+...+2”C>M-b令x二1即得证。学生17:直接用二项式定理就可证得。由于3n=(1+2)",把右边展开即得。教师：思路都很好！用赋值法证明此题的关键是构造一个恰当的二项式；用二项式定理证明的关键是拆项。再看儿个直接运用二项式系