2002年全国初中数学竞赛试题附答案

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1、2002年全国初中数学竞赛试题2．已知a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为【】A、0B、1C、2D、33．如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则等于【】A、B、C、D、4．设a、b、c为实数，x＝a2－2b＋，y＝b2－2c＋，z＝c2－2a＋，则x、y、z中至少有一个值【】A、大于0B、等于0C、不大于0D、小于05．设关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0，有两个不等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是【】A、＜a＜B、a＞C、a

2、＜D、＜a＜06．A1A2A3…A9是一个正九边形，A1A2＝a，A1A3＝b，则A1A5等于【】A、B、C、D、a＋b二、填空题7．设x1、x2是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a＝2的两个实数根，则(x1－2x2)(x2－2x1)的最大值为。8．已知a、b为抛物线y＝(x－c)(x－c－d)－2与x轴交点的横坐标，a＜b，则的值为。9．如图，在△ABC中，∠ABC＝600，点P是△ABC内的一点，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB＝。10．如图，大圆O的直径AB＝acm，分别以OA、OB为直径作⊙O1、⊙O2，并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空隙间作两个等圆

3、⊙O3和⊙O4，这些圆互相内切或外切，则四边形O1O2O3O4的面积为cm2。11．满足(n2－n－1)n＋2＝1的整数n有个。12．某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d可以用p表示为。三、解答题13．某项工程，如果由甲、乙两队承包，天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，天完成，需付160000元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？14．如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB＝CD＝EF，且对角线AD、BE、CF交于一点Q，设A

4、D与CE的交点为P。(1)求证：（2）求证：16．如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数（即整数的平方）。证明：（1）2a、2b、c都是整数；（2）a、b、c都是整数，并且c是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切的x的整数值，x的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数？2002年全国初中数学竞赛试题一、选择题（每小题5分，共30分）1.设a＜b＜0，a2＋b2＝4ab，则的值为（）。A、B、C、2D、3答案：A.由题意:>0，且===3。2.已知a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002，则多项式a2＋b2＋c2－a

5、b－bc－ca的值为()。A、0B、1C、2D、3答案：原式=[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]=[1+1+4]=3。3.如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则等于()。A、B、C、D、答案：设S矩形ABCD=1。因为E、F是矩形ABCD中边AB、BC的中点，所以SΔGCF=SΔGBF，设为x；SΔGAE=SΔGBE，设为y。则,得2x+2y=.所以S四边形AGCD=.从而S四边形AGCD∶S矩形ABCD=2∶3.4.设a、b、c为实数，x＝a2－2b＋，y＝b2－2c＋，z＝c2－2a＋，则x、y、z中至少有一个值()。A、大于0B、

6、等于0C、不大于0D、小于0答案：由题意:x+y+z=a2+b2+c2-2a-2b-2c+=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+-3>0,所以x、y、z中至少有一个大于0.1.设关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0，有两个不等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是()。A、＜a＜B、a＞C、a＜D、＜a＜0答案：由题知:(x1-1)(x2-1)<0,即x1x2-(x1+x2)+1<0,代入韦达定理并整理得<0,可知选(A).2.A1A2A3…A9是一个正九边形，A1A2＝a，A1A3＝b，则A1A5等于()。A、B、C、D、a＋b答案：.延长A1A2和A5

7、A4相交于P,连结A2A4.易证:ΔPA1A5和ΔPA2A4均为正Δ,且PA2=A2A4=A1A3=b。所以A1A5=PA1=a+b.一、填空题（每小题5分，共30分）3.设x1、x2是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a＝2的两个实数根，则(x1－2x2)(x2－2x1)的最大值为。答案：由Δ=(a-2)2+4>0知a为一切实数.由韦达定理,得原式=9x1x2-2(x1+x2)2=-2a2+9a-18≤-.1.已知a、b为抛物线y＝(x－c)