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1、第一章习题1-11.用区间表示下列不等式的解.解(1)原不等式可化为,其解为,用区间表示是[-3,3].(2)原不等式可化为或,其解为或,用区间表示是(-∞,0)∪(2,+∞).(3)原不等式的解为,用区间表示是(-2,1).(4)原不等式可化为即用区间表示是(-1.01,-1)∪(-1,-0.99).2.用区间表示下列函数的定义域:解(1)要使函数有意义,必须即所以函数的定义域为[-1,0)∪(0,1].(2)要使函数有意义,必须即所以函数的定义域是,用区间表示就是(1,2].(3)要使函数有意义,必须即所以函数的定义域是-6≤x
2、<1,用区间表示就是[-6,1).3.确定下列函数的定义域及求函数值f(0),f(),f(a)(a为实数),并作出图形(1)；(2)y＝解(1)函数的定义域,图1-1图1-2(2)函数的定义域4※.设,求f(f(x)).解当
3、x
4、≤1时,f(x)=1,f(f(x))=f(1)=1;当
5、x
6、>1时,f(x)=-1,f(f(x))=f(-1)=1,综上所述f(f(x))=1(x∈R).5.判定下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝(x2＋x)sinx；(3)※f(x)＝解(1)∵∴f(x)是偶函数.(2)∵且,∴f(x)是
7、非奇非偶函数.(3)※当x<0时,-x>0,;当x≥0时,-x≤0,,综上所述,,有f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.6.设f(x)在区间(-l,l)内有定义,试证明：(1)f(-x)+f(x)为偶函数；(2)f(-x)-f(x)为奇函数.证(1)令有所以是偶函数;(2)令,有所以是奇函数.7.试证：(1)两个偶函数的代数和仍为偶函数；(2)奇函数与偶函数的积是奇函数.证(1)设f(x),g(x)均为偶函数,令则,所以是偶函数,即两个偶函数的代数和仍为偶函数.(2)设f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,令,则,所以是奇函
8、数,即奇函数与偶函数之积是奇函数.8.求下列函数的反函数:解(1)由得所以函数的反函数为.(2)由得,即.所以函数的反函数为.(3)※当时,由得;当时,由得;于是有,所以函数的反函数是.9.将y表示成x的函数,并求定义域:解(1),定义域为(-∞,+∞);(2)定义域为(-∞,+∞);(3)(a为实数),定义域为(-∞,+∞).习题1-21.下列初等函数是由哪些基本初等函数复合而成的?(1)y=；(2)y=sin3lnx;(3)y=；(4)y=ln［ln2(ln3x)］.解(1)令,则,再令,则,因此是由基本初等函数复合而成的.(2
9、)令,则,再令,则.因此是由基本初等函数复合而成.(3)令,则,再令,则,因此是由基本初等函数复合而成.(4)令,则,再令则,再令,则,再令,则,因此是由基本初等函数复合而成.2.设f(x)的定义域为［0,1］,分别求下列函数的定义域：(1)f(x2)；(2)f(sinx);(3)f(x+a),(a＞0)；(4)f(ex+1).解(1)由f(x)的定义域为[0,1]得0≤x2≤1,于是-1≤x≤1,所以f(x2)的定义域为[-1,1].(2)由f(x)的定义域为[0,1]得0≤sinx≤1,于是2kπ≤x≤(2k+1)π,k∈z,所
10、以f(sinx)的定义域为[2kπ,(2k+1)π],k∈Z.(3)由f(x)的定义域为[0,1]得0≤x+a≤1即-a≤x≤1-a所以f(x+a)的定义域为[-a,1-a].(4)由f(x)的定义域为[0,1]得0≤ex+1≤1,解此不等式得x≤-1,所以f(ex+1)的定义域为(-∞,-1].3.求下列函数的表达式：(1)设(sinx)=cos2x+sinx+5,求(x);(2)设g(x-1)=x2+x+1,求g(x);(3)设=x2+,求f(x).解(1)法一:令,则,代入函数式,得:,即.法二:将函数的表达式变形得:令,得,
11、即.(2)法一:令,则,将其代入函数式,得即.法二:将函数表达式变形,得令,得,即.(3)法一:令,两边平方得即,将其代入函数式,得,即.法二:将函数表达式变形,得令,得,即.习题1-31.设销售商品的总收入是销售量x的二次函数,已知x=0,2,4时,总收入分别是0,6,8,试确定总收入函数TR(x).解设,由已知即解得所以总收入函数.2.设某厂生产某种产品1000吨,定价为130元/吨,当一次售出700吨以内时,按原价出售；若一次成交超过700吨时,超过700吨的部分按原价的9折出售,试将总收入表示成销售量的函数.解设销售量为x,
12、实际每吨售价为P元,由题设可得P与x间函数关系为,总收入,即.3.已知需求函数为,成本函数为C=50+2Q,P、Q分别表示价格和销售量.写出利润L与销售量Q的关系,并求平均利润.解由题设知总收入,则总利润,平均利润.4.已知需求函数Q
