2016新编怀化学院省级精品课程-高等代数教案：第九章欧几里得空间

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1、第九章欧几里得空间§1定义与基本性质一、向量的内积定义1设V是实数域/?上一个向量空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（6Z，P），它具有以下性质：1）（a，#）=（々，a）;2）{ka，p、=k{a，p、3）（^+Az）=（^/）+（Az）;4）（汉，汉）20,当且仅当=0时，（a，a）=0这里队及7是V任意的向量，是任意实数，这样的线性空间V/称为欧几里得空间.例1在线性空间/r中，对于向量a=(a^a2,-^an)=(k，b2，."，bn、，定义内积(a，/3、=a}b}+a2b2HHanbn则内积（1）适合定义中的条件，这样/T就成为一个欧几里得空间.

2、仍用来表示这个欧儿里得空间.在n=3时，（1）式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式.例2在/T里，对于向量汉=（6^2,…，心），/3=（b'，b2，."，bn、，定义内积axbx+2a2b2H——+nanbn.则内积（1）适合定义中的条件，这样V就也成为一个欧儿里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间.，对同一个线性空间可以引入不同的内积，使得它作成欧几里得空间.例3在闭区间[仏/7]上的所有实连续函数所成的空间C(6/，/0中，对于函数/U)，以%)定义内积(/⑺，=£f(x)g(x)dx.(2)对于内积(2),C(fz,/?)构成一个欧儿里得空间.同样地，

3、线性空间/?[x]，/?[x]„对于内积⑵也构成欧几里得空间.例4令H是一切平方和收敛的实数列OO6=0丨，x2,…，<+°°/

4、=1所成的集合，则//是一个欧儿里得空间，通常称为希尔伯特(Hilbert)空间.二、欧几里得空间的基本性质1)定义屮条件1)表明内积是对称的.2’)=(k/3，a)=k(a,=k(J3，a).3’)(a，#+/)=(#+/，a)=(Aa)+(y，a)=(a，/?)+(a,/)定义2非负实数称为向量a的长度，记为问.显然，句量的长度一般是正数，只有零向景的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质：ka=

5、k

6、a⑶这里V.长度为1的向量叫做单

7、位向量.如果，汉*0由⑶式，向量1厂汉

8、a

9、就是一个单位向量.用向量G的长度去除向量6Z,得到一个与G成比例的单位向量，通常称为把6Z单位化.柯西-布涅柯夫斯基不等式：即对于任意的向量队P有

10、(a,^)

11、<

12、a

13、

14、^

15、当且仅当队/?线性相关时，等式方成立.对于例1的空间/T，（5）式就是+ct2b2HHanbn=arccos-^j^p，0<

16、

17、«+<，2+

18、<推广：如果向量两6^，6Z2，…，两两正交，那么a+^2+".+am

19、2=a\~+

20、汉2P+".+

21、仅J'设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基£,，&，•••，&,对于V中任意两个向量a=+X2€2+•••+xz^,,/?=y16-1+）’2q+".+）^,，由内积的性质得(6r,/?)=(x,r,+x2£2+•••+义,+y2£2+•

22、••+ZA〉n门/=1y=l令显然aij=aji-于是打n(9)(10)(a^)=YYaiJxiyJ/=17=1利用矩阵，⑽，灼还可以写成(a^)=XfAY,其中Z^1/=x2嫌參參，r=y2♦♦♦

23、i=fe）=fe^J=CUC.（11）这就是说，不同基的度量矩阵是合同的.根据条件(4)，对于非零向量6Z,即0有(a,a)=X'AX>0因此，度量矩阵是正定的.反之，给定一个A2级正定矩阵A及n维实线性空间V的一组基£,，£2，…，~.可以规定V上内积，使它成为欧儿里得空间，并且基的…名度量矩阵是1欧几里得空间的子空间在所定义的内积之下显然也是一个欧几里得空间.欧JL里得空间以下简称为欧氏空间.§2正交基一、标准正交基定义5欧氏空间V的一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一个正交向量组.按定义，由