一阶rc电路分析

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1、3.3RC电路的响应经典法分析电路的暂态过程，就是根据激励通过求解电路的微分方程以得出电路的响应。激励和响应都是时间的函数所以这种分析又叫时域分析3.3.1RC电路的零输入响应零输入响应•无电源激励，输入信号为零在此条件下，由电容元件的初始状态uc(0+)所产生的电路的响应分析RC电路的黎输入响应，实际上就是分析它的放电过程。如图3.3.1(RC串联电路，电源电压LIS>rt=0阁3.3.IRC放电屯路伞Uc十Ucu。)。换路前，开关S合在位置2上，电源对电容充电。t=0时将开关从位置2合到位置1

2、，使电路脱离电源，输入信号为零。此时，电容已储有能量，其上电压的初始值山(0+)=UQ;于是电容经过电阻R开始放电。根据基尔霍夫电压定律，列出t>0时的电路微分方程RCduc/dt+Uc=03.3.1式中i=Cduc/dt令式3.3.1的通解为uc=Aept代入3.3.1并消去公因子Aept得微分方程的特征方程RCp+l=0其根为p=-l/RC于是式3.3.1的通解为uc=Ae_u/RC定积分常数A。根据换路定则，在t=0+时，Uc(0+)=U0,则A=U0。其随时间变化的曲线如图3.3.2所示。

3、它的初始值为U。，按指数规律衰减而趋于式3.3.3中，t=RC它具有时间的量纲，所以称电路时间常数。决定uc衰减的快慢。当t=T时，Uc=Uoe"=Uo/2.718=36.8°/oUo可见t等于电压uc衰减到初始值U。的36.8%所需的时间。可以用数学证明，指数曲线上任意点的次切距的长度都等于t。以初始点为例E图3.3.2(a)2duc/dt=-U0/t即过初始点的切线与横轴相交于T从理论上讲，电路只有经过t=oo的时间才能达到稳定。但是，由于指数曲线开始变化较快，而后逐渐缓慢，如下表所列T2T3

4、T4T5T6Te_1e-2e-3e-4e-5e-6o.3680.1350.0500.0180.0070.002所以，实际上经过t=5T的时间，就足以认为达到稳态了。这时图3.3.3t愈大,uc衰减愈慢ut=Uoe=0.007Uo=(0.7%)UoT越大，Ue衰减的越慢(电容放电越慢)如3.3.3所示。周为在一定初始电压下,电容越大，则储存的电荷越多;而电阻越大，J彳旌电电葢越d、。產都促遮教电虞慢。因此，改变R或C的数值，也就是改变电路的时间常数，就可以改变电容放电的快慢。至于t>0时电容的放电电

5、流和电阻上的电压，也可求出即i=Cduc/dt=-Uoe1r/R；uR=Ri=-U0上两式负号表示放电电流的实际方向与图3.3.1中所选定的参考方向相反。所求ue，1^及i随时间变化的曲线画在一起，如图3.3.2(b)所示。例3.3.1电路如图所示，开关S闭合前电路处于稳态。在t=0时，将开关闭合，试求t>0时电压Uc和电流1Q2Q1ic、i1及i2。b6VSucCt=O5uF3.3.2RC电路的零状态响应123Q零状态响应■换路前电容元件未例3.3.1图储能，ue(0-)=0。在此条件下，由电源

6、激励所产生的电路的响应图3.3.5RC充电电路分析零状态响应实际上是分析它的患电继。图3.3.5为RC串联电路。在t=0时将开关S合上，电路即与一恒定电压为U的电压源接通，对电容开始充电。此时实为输入一阶跃电压u，如图3.3.6(a)所示。它与恒定电压图3.3.6(b)不同，其表示式为u=>0根据基尔霍夫电压定律，列出t>0时电路中电压和电流的微分方0t0(a)(b)图3.3.6(a)阶跃电压(b)恒定电压U=Ri+uc=RCduc/dt+u,3.3.7式中i=Cduc/dt式3.3.7的通解有两

7、个部分：一个是特解u/，一个是补函数〃，即uc=u/+uc〃=U+Ae-t/RC在t=0时，ue(0+)=0，则积分常数A=-U。所以电容两端的电压uc=U-Ue-t/RCU(1-e-t/RCU(1-e_t/T)U63.2%U0■36.8%U一U阁3.3.7uc的殳化曲线所求电压uc随时间变化的曲线如图3.3.7所示。u/不随时间变化，ue〃按指数规律衰减而趋于零。因此，电压ik按指数规律随时间增长而趋于稳态值。当t=t时，uc=U(1-e'1)=U(1-1/2.718)=U(1-0.368)=(

8、63.2%)U从电路的角度来看，暂态过程中电容两端的电压ue可视为由两个分量相加而得:其一是U/，即到达稳态时的电压，称稳态分量，它的变化规律和大小都与电源电压U有关；其二是Ut〃，仅存在于暂态过程中，称为暂态分量，它的变化规律与电源电压无关，总是按指数规律衰减，但是它的大小与电源电压有关。当电路中储能元件的能量增长到某一稳态值或衰减到某一稳态值或零值时，电路的暂态过程随即终止，暂态分量也趋于零(在上面所讨论的RC电路的零输入响应中，稳态分量为零值)。至于t>0时电容充电电路中的电