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1、用数学的思维方式教数学如何使数学比较好学？如何在数学教学的过程中培养学生的创新能力？数学的概念和定理比较多，而且比较抽象，数学的证明要进行逻辑推理，做数学题需要掌握概念、定理和方法，这些使得不少学生感到数学比较难学。通常的数学教学一开始给出数学概念的定义，接着写出有关的定理，然后对定理进行证明。这种教学方式可以让学生学到数学的概念和定理，可以训练学生的逻辑推理能力。但是学生不知道概念是怎么提出来的，不知道定理是怎么发现的，因此培养不出学生的创新能力。本人根据四十多年的教学和科研工作的经验，用数学的思维方式教数学就可以既使数学比较
2、好学，又可以在教学的过程中培养学生的创新能力。数学的思维方式是一个全过程：观察客观现象，抓住主要特征，抽象出概念；提出要研究的问题，运用“解剖麻雀”、直觉、归纳、类比、联想和逻辑推理等进行探索，猜测可能有的规律；经过深入分析，只使用公理、定义和已经证明了的定理进行逻辑推理来严密论证，揭示出事物的内在规律，从而使纷繁复杂的现象变得井然有序。用数学的思维方式教数学，我们的主要做法有以下几点。1.观察客观现象自然而然地引出概念，讲清楚为什么要引进这些概念线性空间的概念是高等代数中最重要的概念之一。我们让学生观察几何空间（以定点0为起点
3、的所有向量组成的集合）中有加法和数量乘法运算，并且满足8条运算法则；向量的坐标是3元有序实数组，为了用坐标来做向量的加法和数量乘法运算，很自然地在所有3元有序实数组组成的集合R3中引进加法和数量乘法运算，并且也满足8条运算法则。几何空间是3维空间，时一空空间是4维空间。有没有维数大于4的空间？为了对数域K上的n元线性方程组直接从系数和常数项判断它有没有解和有多少解，从矩阵的初等行变换把线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵可以判断线性方程组的解的情况受到启发，很自然地在所有n元有序数组组成的集合Kn中引进加法和数量乘法运算，并且也满
4、足8条运算法则。Kn就是一个n维空间。我们抓住几何空间，R3，Kn的共同的主要特征：“有加法和数量乘法运算，并且满足8条运算法则”，便自然而然地引出了线性空间的概念。为了使线性空间为数学、自然科学和社会科学的研究提供广阔天地，需要把线性空间的结构搞清楚。几何空间的结构是，任意取与1上的一个向量的和。由此引出了线性空间V的子空间的直和的概念；猜测并且证明了线性空间V等于它的若干个子空间％,…，Vm的直和当且仅当％的一个基Vm的一个基合起来是V的一个基。直和分解是研究线性空间的结构的第二条途径。几何空间的每一个向量对应于它在给定的一
5、个基下的坐标是几何空间到R3的一个双射，并且它保持加法和数量乘法运算。由此受到启发，引出了线性空间的同构的概念；猜测并且证明了数域K上的n维线性空间都与Kn同构。线性空间的同构是研究线性空间的结构的第三条途径。A
6、j(A)，j=1,2,…,s，的最小公倍式。利用这个结论和唯一因式分解定理可以得出，A
7、i(；入）在F[A]中能分解成一次因式的乘积，那么存在V的一个基，使得A在此基下的矩阵为由若干个Jordan块组成的分块对角矩阵，称它为A的Jordan标准形。由于主对角元为的t级Jordan块的最小多项式为(X-Xj)1,因此根
8、据“分块对角矩阵A=diag{Al5…,As}的最小多项式m(人）是Aj的最小多项式mj(A)，j=1,2,…，s，的最小公倍式”便得到，如果A有Jordan标准形J，那么J的最小多项式m(人）是一次因式的乘积，m(A)也是A的最小多项式。从而如果A的最小多项式)在F[A]中的标准分解式有次数大于1的不可约因式，那么A没有Jordan标准形。我们用类比的方法证明了此时A有有理标准形。这样我们就彻底解决了域F上n维线性空间V上的线性变换A的最简单形式的矩阵表示的问题。3.通过“解剖麻雀”，讲清楚数学的深刻理论是怎么想出来的伽罗瓦在
9、1829?1831年间彻底解决了一元n次方程是否可用根式求解的问题。他给出了方程可用根式求解的充分必要条件，创立了深刻的理论（后人称之为伽罗瓦理论），由此引发了代数学的革命性变化。古典代数学以研究方程的根为中心。伽罗瓦理论创立以后，代数学转变为以研究各种代数系统的结构及其态射（即保持运算的映射）为中心，由此创立了近世代数学（也称为抽象代数学）。我们在近世代数课的教学中，通过“解剖麻雀”，讲清楚伽罗瓦理论是怎么想出来的。考虑4次一般方程x4+px2+q=0,(1)其中p,q是两个无关不定元。方程(1)的系数所属的域为Q[p,q]的
10、分式域Q(p,q)，简记作K，把K称为方程(1)的系数域。方程(1)有4个根：.._
11、-P+VP2-4q.._
12、-p+Vp2-4qX1_a]2，X22，.._
13、-p-VP2-4q.._
14、-p-VP2-4qX3_a]2，X42这表明方程(1)可用根式求解。我们来仔
