一道高考题引发的解题反思

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1、一道高考题引发的解题反思一一以三角函数为背景的零点存在区间的判定问题奉化髙级中学胡尤案例、(10年浙江高考第9题)、设函数/(x)=4sin(2x+l)—又，贝ij在下列区间中函数/(%)十存在零点的是()(A)1-4,-2J(B)1-2,0J(C)[0,2J(D)12,4J学生可能出现的问题：1、弧度对应的正弦近似值判断不够熟练；2、当判断出选项中各区间端点函数值M兮时，不知道接下來足否可以且怎样应用零点存在性定理判断零点的存在情况：3、不能较准确地画出函数y=4sin(2x+l)的图像；4、画图过程中没有找出关键点，导致不能消楚地观察出函数g(x)=4sin(2x+l),

2、/i(x)=x图像的交点情况。解1(分割区间法)判断各区间端点函数值的正负号：/(一4)=4sin(-7)+4〉0，/(—2)=4sin(-3)+2〉0(-3»-1710),得/(-4)/(-2)>0:/(0)=4sinl>0，得/(—2)/(0)〉0；/(2)=4sin5-2<0(5=285°)，得/(0)/(2)<0；/(4)=4sin9-4<0,得/(2)/(4)〉0。因为零点存在性定理只能判断冇根的怙况，而不能判断无根的怙况，所以我们只能判断出函数/G0在有根.问1:那么其他三个区间怎么去排除呢？我们可以分割区间后再用定理判断零点存在与否。问2:用什么点去分割区间？(

3、屮点(二分法的原理)、特殊值点……)尝试：/(-I)=4sin(-l)+1<0，得/(-1)/(0)<0，f(7T)=4sin(2^+l)->r=4sinl-^>o,得/(幻/(4)<0,由排除法可知答案为a。小结：若分割点取得好，将能很快得到答案，但足当区间里冇多个零点的情况下，分割区间记不一定能一次成功，可能需耍多次的尝试，这也是分割区间法的局限性，因为我们仅仅用儿个特殊的点是无法知道因变呈随自变呈运动的全面情况的。怎样才能全面掌握函数随x的变化情况呢？(M函数图象)解2(画图法)令g(x)二4sin(2x+l),/t(x)=x,则只需判断两个函数交点的横华标区间。问3:

4、怎样iffli函数g(x)=4sin(2x+l)xe[—4,4]的图像？(“五点法”：令2x+l=0,得又=——，2T71再利用周期性，向左右每隔一=一描点)44问4:M出那几个点点就可判断区间屮是否冇交点？(取x=•即可)解析:由阁二易得，［0,2］,［一2,0］上有交点，:要判断［2,4］上是否有交点，只需比较点(4,4)与点Sji15?r13?r1(,4)左右位S关系，而4e(，-)，所以可得(2,4)上也有交点，且有W个，现424222在只需验证［—4,一2】上无交点,因g(-4)〉一4=/i(-4)可知［-4，一2i上无交点。在这个方法中，只需抓住直线上(-4,_4

5、)，(4,4)与M，g(-4)),(4,及(4))两组点的位置关系，题目就可迎刃而解。小结：因力阁像具冇直观性、全面性且关键点的位罝实际上就起到丫分割区间的作用，因此当应用零点存在性定理不能一次性得到答案时，画图并比较关键点的位置就是个能够一步到位、行之宥效的方法。但是点如果描得太多则会浪费吋间，这就盂要选取有效的关键点，那么选取哪些点为关键点呢？由本题解题过程可知，选取各区间端点和其中一个函数最值对应的自变量较为合适，M吋选取计算较方而的特殊点也在考虑之中。问5:可能画函数以x)二4sin(2x+l)图像花了很长时间，能否可先画一个简单的函数图像再变化到解3(图像平移法)、

6、令g(x)=4sin(2x+l)，/z(x)=x,G(x)=4sin2x,问6:这两个均为奇函数，图像关•丁•原点对称。现在我们能判断出G

7、是代数法所不其备的特性。为了解释题目的解题思想和方法，特编写下而变式题：变式：设函数/（x）=4sin（2x+l）—ln

8、x

9、4,则在下列区M中函数/U）不存在零点的是（）44无交么再把蚋数阁像=sin2%向左平移1个单位，易知［2,4］上无交点，答案为（D）。2展望商考：（2011年参考卷）下列函数中，在（0,一）上有零点的是（）2（A）f（x）=sinx-x（B）f（x）=sinx--x71??2（C）/（x）=sin2x—x（D）/（义）=sin2%x71jt解析：选项（A）：①值域法，方法一：由