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《抛物线的性质归纳与证明》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、抛物线的常见性质及证明概念焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦.性质及证明过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦两端点为,,倾斜角为,中点为C(x0,y0),分别过A、B、C作抛物线准线的垂线，垂足为A’、B’、C’.1.求证：①焦半径；②焦半径;③＋＝；④弦长
2、AB
3、＝x1＋x2＋p=；特别地，当x1=x2(=90°)时，弦长
4、AB
5、最短，称为通径，长为2p；⑤△AOB的面积S△OAB＝.CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOqA1B1F图2证明：根据抛物线的定义，
6、AF
7、
8、＝
9、AD
10、＝x1＋，
11、BF
12、＝
13、BC
14、＝x2＋，
15、AB
16、＝
17、AF
18、＋
19、BF
20、＝x1＋x2＋p如图2，过A、B引x轴的垂线AA1、BB1，垂足为A1、B1，那么
21、RF
22、＝
23、AD
24、－
25、FA1
26、＝
27、AF
28、－
29、AF
30、cosq，∴
31、AF
32、＝＝同理，
33、BF
34、＝＝∴
35、AB
36、＝
37、AF
38、＋
39、BF
40、＝＋＝.S△OAB＝S△OAF＋S△OBF＝
41、OF
42、
43、y1
44、＋
45、OF
46、
47、y1
48、＝··(
49、y1
50、＋
51、y1
52、)∵y1y2＝－p2，则y1、y2异号，因此，
53、y1
54、＋
55、y1
56、＝
57、y1－y2
58、∴S△OAB＝
59、y1－y2
60、＝＝＝＝.2.求证：①；②；③＋＝.当AB⊥x轴时
61、，有成立；当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：.代入抛物线方程：.化简得：∵方程（1）之二根为x1，x2，∴..3.求证：Rt∠.CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFENM图3先证明：∠AMB＝Rt∠【证法一】延长AM交BC的延长线于E，如图3，则△ADM≌△ECM，∴
62、AM
63、＝
64、EM
65、，
66、EC
67、＝
68、AD
69、∴
70、BE
71、＝
72、BC
73、＋
74、CE
75、＝
76、BC
77、＋
78、AD
79、＝
80、BF
81、＋
82、AF
83、＝
84、AB
85、∴△ABE为等腰三角形，又M是AE的中点，∴BM⊥AE，即∠AMB＝Rt∠【证法二】取AB的中点N，连结MN，则
86、MN
87、＝(
88、AD
89、＋
90、B
91、C
92、)＝(
93、AF
94、＋
95、BF
96、)＝
97、AB
98、，∴
99、MN
100、＝
101、AN
102、＝
103、BN
104、∴△ABM为直角三角形，AB为斜边，故∠AMB＝Rt∠.【证法三】由已知得C(－，y2)、D(－，y1)，由此得M(－，).∴kAM＝＝＝＝＝，同理kBM＝CDBRAxyOF图41234M∴kAM·kBM＝·＝＝＝－1∴BM⊥AE，即∠AMB＝Rt∠.【证法四】由已知得C(－，y2)、D(－，y1)，由此得M(－，).∴＝(x1＋，)，＝(x3＋，)∴·＝(x1＋)(x2＋)＋＝x1x2＋(x1＋x2)＋－＝＋(＋)＋－＝＋＝＋＝0∴⊥，故∠AMB＝Rt∠.【证法五】
105、由下面证得∠DFC＝90°，连结FM，则FM＝DM.又AD＝AF，故△ADM≌△AFM，如图4∴∠1＝∠2，同理∠3＝∠4图5CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOF(，0)aaabbb∴∠2＋∠3＝×180°＝90°∴∠AMB＝Rt∠.接着证明：∠DFC＝Rt∠【证法一】如图5，由于
106、AD
107、＝
108、AF
109、，AD∥RF，故可设∠AFD＝∠ADF＝∠DFR＝a，同理，设∠BFC＝∠BCF＝∠CFR＝b，CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFM图6GHD1而∠AFD＋∠DFR＋∠BFC＋∠CFR＝180°∴2(a＋b)＝180°，即
110、a＋b＝90°，故∠DFC＝90°【证法二】取CD的中点M，即M(－，)由前知kAM＝，kCF＝＝＝∴kAM＝kCF，AM∥CF，同理，BM∥DF∴∠DFC＝∠AMB＝90°.【证法三】∵＝(p，－y1)，＝(p，－y2)，N1NMxyOF图7M1l∴·＝p2＋y1y2＝0∴⊥，故∠DFC＝90°.【证法四】由于
111、RF
112、2＝p2＝－y1y2＝
113、DR
114、·
115、RC
116、，即＝，且∠DRF＝∠FRC＝90°∴△DRF∽△FRC∴∠DFR＝∠RCF，而∠RCF＋∠RFC＝90°∴∠DFR＋∠RFC＝90°∴∠DFC＝90°4.C’A、C’B是抛物线的切
117、线CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFM图8D1【证法一】∵kAM＝，AM的直线方程为y－y1＝(x－)与抛物线方程y2＝2px联立消去x得y－y1＝(－)，整理得y2－2y1y＋＝0可见△＝(2y1)2－4＝0，故直线AM与抛物线y2＝2px相切，同理BM也是抛物线的切线，如图8.【证法二】由抛物线方程y2＝2px，两边对x求导，＝，得2y·＝2p，＝，故抛物线y2＝2px在点A(x1，y1)处的切线的斜率为k切＝
118、y＝y1＝.又kAM＝，∴k切＝kAM，即AM是抛物线在点A处的切线，同理BM也是抛物线的切线.【证法三】∵过点
119、A(x1，y1)的切线方程为y1y＝p(x＋x1)，把M(－，)代入左边＝y1·＝＝＝px1－，右边＝p(－＋x1)＝－＋px1，左边＝右边，可见，过点A的切线经过点M，CDB(x2，y2)R
