谈谈耦合振动

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1、谈谈耦合振动作为引子，也作为例子我们先来看看2004年全国中学生物理决赛最后一题。原题是这样叙述的：如图，abcd是位于光滑水平桌面上的四个小物块，它们的质量均为m.a、b间有一自然长度为l,劲度系数为的弹簧联结。c、d之间有一自然长度为l,劲度系数为的弹簧联结四个物块的中心在同一直线上。如果b、c发生碰撞，碰撞是完全弹性的，且碰撞时间极短。开始时，两个弹簧都处在自然长度状态，物块c、d静止，物块a、b以相同的速度向右运动，试定量论述1．若=,四个物块相对于桌面怎样运动？2．若=4,四个物块相对于桌面怎样运动？图如下：

2、（摘自《2005全国中学生物理竞赛专辑》北京教育出版社）下面是原书给出的解答（有删动）：在ab两物块向右运动过程中，b与c第一次相遇并发生碰撞，在极短的时间内，两根弹簧的长度都来不及发生变化，处在原长状态，故a,d的运动未发生改变。容易写出四个物块的运动方程：(1)(k1=k2时不再讨论)k1=4k2时（2）第一次碰撞后物块相对于桌面坐标系的位置由（1）确定各物块速度为：（3）如果在以后的过程中bc会相遇利用（1）则有：（4）因得sinω2t(cosω2t+1)=02（5）其解为ω2t=nπn为整数（6）从而使t异于0

3、的最小正整数解满足ω2t=π(7)此时bc相对于质心系的速度为：vb’=-v0/2;vc’=-v0/2;(8)这表明，bc相遇时不相撞。于是bc之间无相互作用，各自独立运动……(以后部分是按照bc无相互作用解的，暂略)问题是,此时bc真的仅仅是相遇而不相撞且将保持各自独立运动吗？从速度上看似乎是这样，但是如果我们分析一下振动图像，就会得出不同的结论。注意到Tc=2π/ω2,Tb=2π/2ω2,Tc=2Tb在t0时刻,bc有相同的位置和速度，但在t=t1时刻，Xc

4、当然是不可能的。因此，上面得出的bc各自独立运动的结论是错的。虽然，b,c在t=t0时刻速度相等，不相撞，但在t=t0+ε(ε>0,且任意小)马上会产生相互作用。值得一提的是，从图上看，在t=t2时刻，好像bc发生碰撞，但实际上，此时vb<0相左运动,vc>0向右运动;也就是说，bc发生分离而不是相撞。当然，在t=t0时刻以后按原模型的任何分析已经没有意义。下面，尝试给出此题目的正确解法。如图，我们在质心系中考虑此问题，并选取t0时刻为时间的起点即t=0.因此可以将bc在有相互作用的这段时间内看成是一个整体。这就得到了

5、一个三自由度的耦合振动（如图）：开始时，速度为（质心系中）Va=Vc=V0/2;Vb,c=-V0/2,(9)各个弹簧都处在自然伸长状态，即:Xa=Xbc=Xd=0;(10)参照下图，列出动力学方程：(11)(12)(13)其中，Xi表示i(i=1,2,3)相对于平衡位置的偏移量。记方程组可化为：（14）（15）(16)由于我们对运动方程感兴趣，故需解出Xi来；记方程可化为：（17）其中，欲对X实行变换T使在变换T下A为对角阵，即：，而为对角阵；这样（17）可化为：（18）这个方程是容易解的。首先求特征值：

6、A-ΛI

7、=

8、0;由此得方程：(19)解得三个特征值:于是解得利用初值,最终可解得:(19)式中而bc之间的作用当时bc分离，故可求得当ωt=1.31时bc将分离。为避免犯原解的错误，还可以检验T(ωt)在ωt=1.31处单调减，这说明bc确实在此刻分离了。进一步，运用质心系中运动方程，可以求得物块abcd最终运动状态。这里略去冗杂的推导直接给出我们最关心的bc的末态运动（在系统质心系中，且以bc分离时刻为时间零点）：（20）（21）并且可以验证，此后bc不会再有相撞。这样本题得以完整解决。正如上面的例子，耦合振动，是一种多自由度的

9、线性系统的振动。由多个弹簧振子耦合在一起所组成的系统，各个振子可能有不同的频率，但是整体是按照某几个统一的频率振动的（这些特征频率被称为简正模）。其实也可以理解，若一个系统是孤立的，即动量和能量守恒，如果振子各唱各的调是难以想象的。（当然耦合振动也包含非孤立系统）。从数学上看，耦合振动表现为，包含n个独立变量的二阶常微线性方程组。其解依赖于系数矩阵的性质。但可以证明，一定有n个特征频率。证明过程已远远超出本文讨论范围。从物理上看，耦合振子系统中所有振子，都按一个统一的频率振动。一般情况下，只关心这些特征频率，就可以采取

10、试探解的办法。举一个简单例子.如图的振子系统：可试探解：由方程组有解条件得从物理上看还可以这样理解：系统中存在某种由振子坐标线性组合组成的坐标量，它们的运动是独立的振动。如可假设在本题中，解得qi后利用反变换：容易求得Xa,Xb.组合系数是由初始条件决定的。可以这样理解，一个确定的系统有着确定的特征频率，但特定初值，会激发或抑制某