2018年江苏苏锡常镇四市高三调研(一)数学试题与答案解析

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1、2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合，，则集合．2.已知复数满足（为虚数单位），则．3.双曲线的渐近线方程为．4.某中学共有人，其中高二年级的人数为.现用分层抽样的方法在全校抽取人，其中高二年级被抽取的人数为，则．5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字，，，）先后抛掷次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于的概率为．6.如图是一个算法的流程图，则输出的值是．7.若正四棱锥的底面边长为

2、，侧面积为，则它的体积为．8.设是等差数列的前项和，若，，则．9.已知，，且，则的最小值是．10.设三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，则．11.已知函数（是自然对数的底）.若函数的最小值是，则实数的取值范围为．12.在中，点是边的中点，已知，，，则．13.已知直线：与轴交于点，点在直线上，圆：上有且仅有一个点满足，则点的横坐标的取值集合为．14.若二次函数在区间上有两个不同的零点，则的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，.（1）

3、若角的终边过点，求的值；（2）若，求锐角的大小.16.如图，正三棱柱的高为，其底面边长为.已知点，分别是棱，的中点，点是棱上靠近的三等分点.求证：（1）平面；（2）平面.17.已知椭圆：经过点，，点是椭圆的下顶点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点且互相垂直的两直线，与直线分别相交于，两点，已知，求直线的斜率.18.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径为，是圆心，且.在上有一座观赏亭，其中.计划在上再建一座观赏亭，记.（1）当时，求的大小；（2）当越大，游客在观赏亭处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭处的观赏效果最佳时，角的正弦值.1

4、9.已知函数，.（1）若，，且恒成立，求实数的取值范围；（2）若，且函数在区间上是单调递减函数.①求实数的值；②当时，求函数的值域.20.已知是数列的前项和，，且.（1）求数列的通项公式；（2）对于正整数，，，已知，，成等差数列，求正整数，的值；（3）设数列前项和是，且满足：对任意的正整数，都有等式成立.求满足等式的所有正整数.2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明

5、过程或演算步骤.A.选修4-1：几何证明选讲如图，是圆的直径，为圆上一点，过点作圆的切线交的延长线于点，且满足.（1）求证：；（2）若，求线段的长.B.选修4-2：矩阵与变换已知矩阵，，列向量.（1）求矩阵；（2）若，求，的值.C.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程.D.选修4-5：不等式选讲已知，都是正数，且，求证：.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图，在四棱锥中，底面是

6、矩形，垂直于底面，，点为线段（不含端点）上一点.（1）当是线段的中点时，求与平面所成角的正弦值；（2）已知二面角的正弦值为，求的值.23.在含有个元素的集合中，若这个元素的一个排列（，，…，）满足，则称这个排列为集合的一个错位排列（例如：对于集合，排列是的一个错位排列；排列不是的一个错位排列）.记集合的所有错位排列的个数为.（1）直接写出，，，的值；（2）当时，试用，表示，并说明理由；（3）试用数学归纳法证明：为奇数.2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题1.2.3.4.5.6.7.

7、8.9.10.11.12.13.14.二、解答题15.解：（1）由题意，，所以.（2）因为，所以，即，所以，则，对锐角有，所以，所以锐角.16.证明：（1）连结，正三棱柱中，且，则四边形是平行四边形，因为点、分别是棱，的中点，所以且，又正三棱柱中且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）正三棱柱中，平面，平面，所以，正中，是的中点，所以，又、平面，，所以平面，又平面，所以，由题意，，，，，所以，又，所以与相似，则，所以，则，又，，平面，所以平面.17.解：（1）由题意得，解得，所以椭圆的标准方程为；（

8、2）由题意知，直线，的斜率存在且不为零，设直线：，与直线联立方程有，得，设直线：，同理，因为，所以，①，无实数解；②，，，解得，综上可得，直线的斜率为.18.解：（1）设，由题，中，，，所以，在中，，，由正弦定理得，即，所以，则，所以，因为为锐角，