混沌与加密new

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1、摘要非线性科学是一门研究非线性现象共性的基础科学，其研究涉及对确定性与随机性，有序与无序，偶然与必然，量变与质变，整体与局部等数学范畴和哲学概念的再认识。混沌是非线形动力学系统所特有的一种形式，他广泛地存在于自然界，诸如物理学、化学、生物学、地质学以及技术科学、社会科学等各个领域。混沌加密是利用混沌系统产生混沌序列作为密钥序列，利用该序列对明文加密。密文经信道传输，接收方用混沌同步的方法将明文信息提取出来实现解密。比起一般的加密技术，混沌加密更难破解，且混沌加密利用混沌系统对初始条件的极端敏感性和难以预测性，具有运算速度快、保真度高

2、、密钥量大、安全性好以及足够的带宽和较强的实时功能，是加密领域的一种新方法，有着广阔的应用前景。2.1混沌的定义现象已引起学术界的极大兴趣，但迄今为止，混沌一词还没有一个公认的普遍适用的数学定义。有的学者认为，在不严格的意义上，如果一个系统同时具有对初值的敏感性以及出现非周期运动，则可认为系统是混沌。但更多的学者认为，给出混沌的精确定义是相当困难的事情。这是因为：(1)不使用大量的技术术语就不可能定义混沌；(2)从事不同研究领域的人使用的混沌定义应有所不同，如正拓扑熵、正Lyapunov指数以及存在奇怪吸引子等。突变论的创始人Tho

3、m更是认为“混沌”一词不可能有严格的数学定义。尽管如此，从事不同领域研究的学者都是基于各自对混沌的理解进行研究并谋求各自的应用。目前，主要有以下三种混沌定义：Li-Yorke意义下的混沌，Devaney意义下的混沌，及Melnilov意义下的混沌。2.1.1Li-Yorke的混沌定义Li-Yorke定理：设是上的连续自映射，若存在3周期点，则对于任意正整数，存在周期点。Li-Yorke关于混沌的定义：闭区间上的连续自映射，如果满足下列条件，则可以确定它存在混沌现象：1)的周期点的周期无上界；2)闭区间上存在不可数子集，满足a)对于任

4、意，当时有b)对任意，有a)对任意，其中是任一周期点，则有根据上述定理和定义，对闭区间上连续函数，如果存在一个周期为3的周期点时，就一定存在任何正整数的周期点，即一定出现混沌现象。该定义准确刻画了混沌运动的几个重要特征：1)存在可数无穷多个稳定的周期轨道；2)存在不可数无穷多个稳定的非周期轨道；3)至少存在一个不稳定的非周期轨道。Li-Yorke定义还表明在区间映射中，对于集合S中的任意两个初始值经过多次迭代，两个序列之间的距离上限可以为大于0的正数，下限为0，这就是说当迭代次数趋于无穷时，序列简单距离可以在每个正数和0之间游荡，即

5、系统的长期行为是不可预测的。2.1.2Devaney的混沌定义在拓扑意义下，Devaney混沌定义为：设是一度量空间，一个连续映射如果满足下面3个条件，便称在上是混沌的。1)对初值敏感依赖.存在,对任意的和任意的,在的领域内存在和自然数,使得.2)拓扑传递性.对上的任意对开集、,存在(如一映射具有稠轨道，则它显然是拓扑传递的).3)f的周期点集在中稠密.对初值的敏感依赖性，意味着无论和离得多近，在的作用下两者的距离都可能分开的较大的距离，并且在每个点的附近，都可以找到离它很近而在的作用下终于分道扬镳的点,对这样的，如果用计算机计算它

6、的轨道，任意微小的初值误差，经过多次迭代后将导致计算结果的失败。拓扑传递意味着任一点的领域在的作用之下将“遍撒”整个度量空间，这说明不可能细分或不可能分解为两个在下不相互影响的子系统。周期点集的稠密性，表明系统具有很强的确定性和规律性，决非混乱一片，形似混乱而实则有序，这正是混沌的耐人寻味之处。2.1.3Melnikov的混沌定义在二维系统中，最具开创性的研究是Smale马蹄理论。马蹄映射定义于平面区域上，,其中由一单位正方形和两边各一个半圆构成。映射规则是不断把纵向压缩(压缩比小于)，同时横向拉伸(拉伸比大于2)，再弯曲成马蹄形后

7、放回中。Henon映射就是马蹄映射的一个实例。已经证明，马蹄映射的不变集是两个Cantor集之交，映射在这个不变集上呈混沌态。因此，如果在系统吸引子中发现了马蹄，就意味着系统具有混沌。Melnikov对混沌的描述概括起来可描述为：如果存在稳定流形和不稳定流形并且这两种流形横截相交，则必存在混沌。Melnikov给出了稳定流形和不稳定流形横截相交的方法，但这种方法只适合于近可积哈密顿系统。2.2混沌的基本特征混沌是指确定性的非线性系统中所出现的形式上较为混乱的非周期运动。它的“定常状态”不是通常概念下确定性运动的三种定常状态：静止(平

8、衡)、周期运动和准周期运动，而是一种始终限于有限区域而且轨道永不重复的、性态复杂的运动。它有时被描述为具有无穷大周期的周期运动或貌似随机的运动等。与其他复杂现象相区别，混沌运动有着自己独有的特征，主要有[9,10]：1)初值的高度敏感