均值不等式知识点讲解及习题

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1、第三节：基本不等式1、基本不等式：（1）如果a、b是正数，那么（当且仅当a=b时取“=”）（2）对基本不等式的理解：a＞0，b＞0，a,b的算术平均数是a+b/2，几何平均数是_________.叙述为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数2、基本不等式的推广：注意：用基本不等式求最值的要点是：一正、二定、三相等三个正数的均值不等式：n个正数的均值不等式：3、四种均值的关系两个正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是：4.最值定理设x＞0,y＞0,由x+y≥（1）若积xy=P(定

2、值），则和x+y有最小值；（2）若和x+y=S(定值），则积xy有最大值即:积定和最小，和定积最大.（不等式的证明）例1、证明基本不等式（跟踪训练）例2、（跟踪训练）例3、若x＞0,y＞0,x+y=1.求证:（跟踪训练）若a、b、c是不全相等的正数，求证：（利用基本不等式求最值）例3、（跟踪训练1）（跟踪训练2）若x、y∈,则x+4y=1,求x.y的最大值例4、若正数a,b满足求a+b的最小值（跟踪训练1）若正实数x,y满足xy=2x+y+6,求xy的最小值。（跟踪训练2）设x、y均为正数，且求xy的最小值。例

3、5、若x,y,z∈，x－2y+3z=0,则的最小值为_________.（跟踪训练）若直线2ax－by+2=0(a＞b＞0）始终平分圆的周长，则的最小值为_________.例6、已知a、b都是正实数，且满足求4a+b的最小值（跟踪训练）设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a>0,b>0）的最大值为12，求的最小值（利用均值不等式判断不等式的成立）例7、设a＞0，b＞0，则下列不等式中不成立的是（）A.B.C.D.（跟踪训练）下列不等式不一定成立的是()