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1、【包哥数学】抽象函数专题抽象函数简介抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力。抽象函数一些模型根据抽象函数的一些性质，联想到所学的基本初等函数模型，将抽象具体化，有助于分析问题。抽象函数f(x)具有的性质联想到的函数模型f(x1+x2)=f(x1)+f(x2);f(x1-x2)=f(x1)-f(x2)正比例函数模型：f(x)=kx(k≠0)f(x1+x2)=f(x1)·f(x2);f(x1-x2)=f(x1)
2、÷f(x2)指数函数模型：f(x)=ax(a>0且a≠1)f(x1·x2)=f(x1)+f(x2);f(x1÷x2)=f(x1)-f(x2);(x1,x2∈R+)对数函数模型：f(x)=logax(a>0且a≠1)例题：例1：f(x)在R+上是增函数，且f(x)=f()+f(y),若f(3)=1,f(x)－f()≥2，求x的范围。例2：设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数m、n，总有f(m+n)=f(m)·f(n)，且x>0时，01;（2）证明：f(x)在R上单调递减；
3、（3）设A=｛(x,y)│f(x2)·f(y2)>f(1),B=｛(x,y)│f(ax-y+2)=1,a∈R｝，若A∩B=∅，确定a的范围。抽象函数的对称性（中心对称、轴对称）和周期性①先深刻理解奇函数，偶函数概念②方法：用哪个数代替x一、抽象函数的对称性定理1.若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件：f(a+x)=f(b－x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=对称。推论1.若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件：f(a+x)=f(a－x)（或f(2a－x)=f(x)),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称。推论2.若函数
4、y=f(x)定义域为R，且满足条件：f(a+x)=f(a－x)，又若方程f(x)=0有n个根，则此n个根的和为na。定理2.若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件：f(a+x)+f(b－x)=c，（a,b,c为常数），则函数y=f(x)的图象关于点对称。推论1.若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件：f(a+x)+f(a－x)=0，（a为常数），则函数y=f(x)的图象关于点（a，0）对称。了解定理3.若函数y=f(x)定义域为R，则函数y=f(a+x)与y=f(b－x)两函数的图象关于直线x=对称。对任意x0,令a+x0=b-x1
5、,则x0+x1=b-a此时令y=f(a+x0)=f(b-x1),则(x0,y)在第一个函数图像上,(x1,y)在第二个函数图像上因为x0+x1=b-a,所以有x0-(b-a)/2=(b-a)/2-x1,(x0,y)和(x1,y)关于直线x=(b-a)/2对称所以这两个函数的图像关于直线x=(b-a)/2是对称的定理4.若函数y=f(x)定义域为R，则函数y=f(a+x)与y=c－f(b－x)两函数的图象关于点对称。二、抽象函数的周期性命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函
6、数.函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.函数y=f(x)满足f(x+a)=，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.命题2：若a、b()是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.(1)函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且
7、a-b
8、是它的一个周期.(2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=
9、f(x)是周期函数，且2
10、a-b
11、是它的一个周期.(3)函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2
12、a-b
13、是它的一个周期.(4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4
14、a-b
15、是它的一个周期.命题3：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.(1)若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.(2)若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直
16、线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期.我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3（1），其他命题的证明基本
