数值分析第四章学习小结

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1、第4章非线性方程与非线性方程组的迭代解法学习小结一、本章学习体会通过本章的学习，我Y解Y怎么求出非线性方程和非线性方程组的根，只是右很少类型的非线性方程能解出根的解析表达式，对于大多数非线性方程，只能用数值方法求出它的根的近似值。我学习了非线性方程与非线性方程组的迭代解法。我感到要想求非线性方程组的精确解是不容易的，困难程度远远超过线性方程组的求解。首先要了解迭代公式的基本思想，迭代法是一种逐次逼近法，用某个固定公式反复校正根的近似值，使之逐步精确化，最后得到满足精度要求的解，实质上是一个逐步显示化的过程。最基本的就是在高中学过的二分法，需要在给定的区域选择

2、根，然后在二分，在从中舍弃一个，再选，直到所选的根符合题目所给的条件，但是二分法只能求实根，并且只能求单根和奇数重根，不能求偶数重根和复数根，所以又有它的缺陷，后面又学了斯蒂芬森加速法和牛顿法。算法都是离不开模型的，我们在学习某种算法时，一定要结合数学模型才能把知识理解到位，比如本章结合几何思想能够很好的理解算法公式的推导说明。运用这么多的算法去求解非线性方程组，只是能最大程度的求解线性方程组的精确解，但不是精确解。我们在今后的学习工作中，也可以自己去创造一种算法，使求解更加精确容易。在求解非线性方程的解的时候，我们要有如下思路：1.如何选取迭代公式；2.如

3、何判断迭代公式的收敛速度；3.如何进行迭代公式的修正，以加速收敛；4.如何选取最适合的迭代方法二、本章知识梳理1、非线性方程的迭代解法1.1简单迭代法及其收敛性1.1.1简单迭代法的基本思想f(x)=0<=>x=(p{x)迭代法的基本思想是将隐式方程*的求根问题归结为计算一组•MKX^,+

4、—(p、Xk、1.1.2一般形式：^+1=识(^)，々=0，1，2,…1.1.3收敛条件：a、非局部收敛定理b、局部收敛定理1.2简单迭代法的收敛速度1.2.1线性收敛的条件1.2.2m阶收敛的条件1.3迭代过程的加速1.3.1加权法迭代：Xk+]=(p(xk)改进：Xk

5、+l=A7+1——"+1l-Ll-Lk1.3.2埃特金(Aitken)加速法设序列UJ线性收敛到s=Xk^s^xk-(么1-七)2Xk+2~^Xk+lXk1.4Newton法(切线法)1.4.1.基本思想：⑴构造法/⑴=0(2)几何上:逐步线性化方法(3)Taylor展开f(x)«/(%J+/*(xk)(%-xk)1.4.2.迭代函数：^x)=x-^y’w1.4.3.选代公式：七+1=-;(('))，々=0，1，2,…1.4.4.几何意义1.4.5.收敛性(1)局部收敛定理(2)非局部收敛定理1.4.6.牛顿下山法/(及)m)zl/u；)尸⑷其中0

6、^l称为下山因子通过适当选取下山因子保证函数值/(A)能单调下降。下山因子的选择是逐步进行的，从Z=1幵始反复将A的值减半进行试算，一旦单调下降条件成立，则称下山成功，反之，如果在上述过程中找不到使单调下降条件成立的下山因子则称下山失败，这时需另选初值•¥0重算。1.5求m重根的Newton法设S是方程(4.1)的m重根(m>2),f(x)在s的某邻域内有m阶连续导数，则/⑴=/⑴=…广一1)⑴=0,/⑽⑴*0(1)^(%)=x-^^至少平方收敛/(-V)(2)w(x)=^®-尸⑺,u)=v_±w.，⑺,(x)至少二阶收敛1.6割线法1.6.1基本思想：用割

7、线代替切线1.6.2.迭代公式W令平7产4。0，1，2,h7单点割雖若迭代公式：义+1=人-#^^2，々=0丄2,/(xj-/(xo)2、非线性方程组的迭代解法2.1一般概念非线性方程组的一般形式,(兀，w,,)=0••AU)拳••x=zrA%2•攀••//u2,…，x)=0向量形式：F(x)=02.2简单迭代法2.2.1.迭代公式:又⑽=GW=0,1，2,…2.2.2.收敛性(1)非局部收敛定理(压缩映象原理)(2)局部收敛定理2.3Newton法基本思想：将非线性方程线性化(利用Taylor展幵)，构造迭代格式。2.4离散Newton法基本思想

8、：用差商代替导数。三、本章思考题迭代法求解线性方程组的本质是什么？优缺点是什么？前提条件是什么？答：本质就是计算极限的过程，一般不能得到精确解。迭代法的优点是程序简单，适合于大型方程组求解，但缺点是要判断迭代是否收敛和收敛速度的问题。迭代解法的前提条件是迭代解出的近似解序列必须具有收敛性。如果近似解序列是发散的，迭代法则不能获得解。本章测验题用迭代法求方程/-3*-1=0的最小正根。计算过程保留4位小数。解：容易判断［1，2］是方程的有根区间。逸代格式为x=V3x+1(p(x)=a/3x+1(px)=.3<

9、(l

10、，则x,=^3x0+l=V4-1.3195x2=0x