实际问题中解线性方程组的经典解法

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1、第二章在实际问题中解线性方程组的经典解法直接法与三角形方程组的求解分析线性方程组求解问题在许多科学计算问题中都会遇到，如应力分析、电学网络、自由振动问题等。在计算机数值方法的课程屮，2线性方程组求解在样条插值、数据拟合的最小二乘法以及常微分方程边值闷题中都要用到.产生的线性方程组的类型宥很多，如按系数矩阵含零元素多少分类，宥稠密和稀疏(零元素占80%以上)线性方程组之别；如按阶数的高低分类，有高阶(阶数在1000阶以上)和低阶之别；如按系数矩阵的形状和性质分类，乂有对称正定、三对角线对角占优等之别，因为在电子计算机上求解，必须要考虑算法的计算复杂性以及算法

2、的数值稳定性问题。所以针对不同类型的线性方程组冇不同的解法，但是，基本的方法可归结为两大类，即为直接法和迭代法。本章介绍的经典解法，都把原方程组化为一个或者两个三角形方程组来求解，主要拈Gauss4消去法和它的变形…-直接三角分解法其中设有线性方程组“11“21••♦“12a22♦♦♦……a2n••••••X=fx2參參•b=fIbb2••參an2…ann7(1,1)A二根据线性代数知识，当时，方程组(1.1)的解存在且唯一，对增广矩阵(A，幻=(A%(1))施行行初等变换，化A(1)为上三角形矩阵A00,同时Z/1化M⑻，这时与增广矩阵相应的线性方

3、程组为上三角形方程组/Vzz//2-zzr(A(//IIlz，//z—vII?7IIzf(!)2fv(9*•IPzrIn-nnuVo71222(1(2aa)lzlz£;/t2/thh(9-•••(na«7oJ1//2H(1(9*6Z6ZZJ/Z(H7/?设#*0(/=1.2.3*"n)则(1.2)的解为(1.3)它便是原方程组(1.1)的解，实现上述求解过程的方法称为Gauss消去法如果方程组(1.1)的系数矩阵可分解为两个形式简单的三角形矩阵£和［/的乘积，即A=LU(1.4)若L为下三角形矩阵，则(7为上三角形矩阵，反之亦然从而求解Av=6

4、的问题转化为解三角形方程组Ly=b(1.5)和Ux=y00其中U2以22(1.6)U2n’22则Lyz/,为下三角形方程组，它的第Z个方程为<

5、)’1+<2)'2+=邱=1.2…n)(1.7)假定/z7*0按％，的顺序解得b,y'=r~Xlijyj+bi7=1义=一/—(1,8)上三角形方程组to=y的第/个方程为+•••+w/wxw=yf.(1.9)假定#0按人，，•--x,的顺序求解得（1，10）直接法的求解过程，在计算过程中无舍入误差的前提下，都可以经冇限步算数运算而得到精确解。由于计算机的字K有限，初始数据取浮点数以及运算过程都不断地产生舍入误差

6、，这些误差的传播和积累，会影响计算精度，所以，如何避免舍入误差的増长是设计算法吋必须考虑的问题。直接法通常需耍存储系数矩阵的全部元素，当方程组的阶数很高时，需要相当大的内存空间，因此，在算法设计上应当注意节省内存，比如，对称矩阵可以只存其下三角形部分于一维数组中。综上所述，如果矩阵A非奇异，总可以通过带有行交换或不带行交换的消元过程，将/I化为非奇异上三角形矩阵因此，冋代求解过程(1,3)也可以进行到底，但是，在实际应用屮，常常难于事先判断系数矩阵A的奇异性，因此，需要进一步考虑当A为奇异矩阵时计算过程可能发生的情况。一是消元过程的某一步找不到非零的于是计

7、算中断；二是迅然消元过程能进行到底，但=0,使回代求解过程无法进行不去，因此，在计算设计中必须考虑到上述两种可能发生的情形，此时应在算法设计屮给出计算屮断的信息。1Gauss列主元素消去法在Gauss消元过程中位于矩阵Aa)a=l，2…n)的主对角线(么幻位置上的元素tzf称为主元素，因为在计算解的分量时，都做除数，但应当避免用小的数做除数，即避免+在数量级上相对小的主元做除数，以防止舍入误差的扩大，降低解得精度，下面的例子说明“小主元”对解得精度的影响。例1用Gauss消去法解线性方程组<10-823、ZA-13.7124.623A—2-21.0725

8、.643/用8位十进制尾数的浮点数计算IO-8231解(人幻二⑺⑴，//1)):-13.7124.6232-21.0725.6433=-108=-2xl08a^_=/7(6z22-m216z12)=/Z(3.712+2xl08)=0.00000000x109+0.2x109=0.2x109^2)=fl(b2-m2I/?,)=7Z(2+108)=0.1x109类似的算出尸我们看到，由于小主元10_8做除数，使得行乘数m21，/n31的数量级变得很大，这样在计算^/②时，即M3.712)与//(0.2X109)在计算机上做代数和时，./Z(3.712)由于阶码

9、升为9使尾数右移变成了机器零，这里揭示了数量级相对于分子数做除数，