实验八常微分方程初值问题数值解法报告

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1、实验八常微分方程初值问题数值解法一、基本题科学计算屮经常遇到微分方程(组)初值fu]题，需要利用Euler法，改进Euler法，Rung-Kutta方法求其数值解，诸如以K问题：(1)y=—y(0):00<%<2分别取h=0.1,0.2,0.4时数值解。初值问题的精确解y=+。(2){/221)=0-l’2(0)=073=~y^灭“0)=1o<%

2、.10),y(0.15)数值解，参考结果乂(0.15)«-0.9880787,y2(0.15)«0.1493359,y3(0.15)«0.8613125o(4)利用四阶标准K-K方法求二阶方程初伉问题的数值解(I)J),-3y’+2y=0[><0)=0,/(0)=10<0）=1,/（0）=00

3、，其中包拈600千克燃料。火箭竖直向上发射时燃料以15千克/秒的速率燃烧掉，由此产生30000牛顿的恒定推力.当燃料用尽吋引擎关闭。设火箭上升的整个过程中，空气阻力与速度平方成正比，比例系数为0.4（千克/米）.重力加速度取9.8米/秒2.建立火箭升空过程的数学模型（微分方程）；求引擎关W瞬间火箭的高度、速度、加速度，及火箭到达最高点的时间和高度.2.小型火箭初始质呈为1200千克，其中包括900千克燃料。火箭竖直向上发射时燃料以15千克/秒的速率燃烧掉，由此产生40000牛顿的恒定推力.当燃料用尽时引擎关闭。设火箭上升的整个过程中，空气阻力与速度

4、平方成正比，比例系数记作k,火箭升空过程的数学模型为

5、+T-mg,0

6、34239240246现有两种估计比例系数k的方法：1.用每一个数据（t，x，v）计算一个k的佔计值（共11个），再用它们來估计k。2.用这组数据拟合一个k.请你分别用这两种方法给出k的估计值，对方法进行评价，并且回答，能否认为空气阻力系数k=0.5（说明理由）.三、要求1、根据初位问题数值算法，分别选择二个初值问题编程计算：2、试分别取不同步长，考察某节点处数值解的误差变化情况;3、试用不同算法求解某初值问题，结果有何异常；4、分析各个算法的优缺点。四、目的和意义1、熟悉各种初伉问题的算法，编出算法程序；2、明确各种算法的精度与所选步长有密切关系

7、;3、通过计算更加了解各种算法的优越性。五、实验学时：2学时六、实验步骤：1.进入C或matlab开发环境；2.根裾实验内容和要求编写程序;3.调试程序；4.运行程序；5.撰写报告，讨论分析实验结果.解：1、欧拉法程序functiony=Euler(a，b，M，yO)%a=l,b=2,M=lO,f=t*yA(1/3)，y0=1;h=(b-a)/M;t=zeros(l，M+l);t=a:h:b;y=zeros(l,M+l);yy=zeros(l,M+l);y(i)=yo；fork=l:My(k+1)=y(k)+h*t(k)*y(k)A(1/3);en

8、dyb=y(M+l)；yy=((t.A2+2)./3).A1.5;det=yy-y;plot(t，y，’r-’，t，yy，’b:’，t，det);2、改进欧拉法程序functionH=heeuler(a，b,M,ya，f)%a=0,b=1，M=lO,f=t*t+t-y,yO=O;h=(b-a)/M;t=zeros(l,M+l);y=zeros(l,M+l);p=0;q=0;t=a:h:b;y(l)=ya;fork=l:Mp=feval(f,t(k),y(k));q=feval(f,t(k+l),y(k)+h*p);y(k+1)=y(k)+0.5*h

9、*(p+q);endyy=t.*t-t+l-exp(-t);det=yy-y;plot(t，y/r-’，t，yy，’b:’