复变函数课后习题集答案解析(全)

《复变函数课后习题集答案解析(全)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、习题一答案1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）（2）（3）（4）解：（1），因此：，（2），因此，，（3），因此，，（4）因此，，2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）（2）（3）（4）（5）1．求下列各式的值：（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）1．设试用三角形式表示与解：，所以，2．解下列方程：（1）（2）解：（1）由此，（2），当时，对应的4个根分别为：1．证明下列各题：（1）设则证明：首先，显然有；其次，因固此有从而。（2）对任意

2、复数有证明：验证即可，首先左端，而右端，由此，左端=右端，即原式成立。（3）若是实系数代数方程的一个根，那么也是它的一个根。证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，，由此得到：由此说明：若为实系数代数方程的一个根，则也是。结论得证。（4）若则皆有证明：根据已知条件，有，因此：，证毕。（5）若，则有证明：，，因为，所以，，因而，即，结论得证。7．设试写出使达到最大的的表达式，其中为正整数，为复数。解：首先，由复数的三角不等式有，在上面两个不等式都取等号时达到最大，为此，需要取与同向且，即应为的单位化向量，由此，，8

3、．试用来表述使这三个点共线的条件。解：要使三点共线，那么用向量表示时，与应平行，因而二者应同向或反向，即幅角应相差或的整数倍，再由复数的除法运算规则知应为或的整数倍，至此得到：三个点共线的条件是为实数。9．写出过两点的直线的复参数方程。解：过两点的直线的实参数方程为：，因而，复参数方程为：其中为实参数。10．下列参数方程表示什么曲线？（其中为实参数）（1）（2）（3）解：只需化为实参数方程即可。（1），因而表示直线（2），因而表示椭圆（3），因而表示双曲线11．证明复平面上的圆周方程可表示为，其中为复常数，为实常数证明：圆周的实方程可表示为：

4、，代入，并注意到，由此，整理，得记，则，由此得到，结论得证。12．证明：幅角主值函数在原点及负实轴上不连续。证明：首先，在原点无定义，因而不连续。对于，由的定义不难看出，当由实轴上方趋于时，，而当由实轴下方趋于时，，由此说明不存在，因而在点不连续，即在负实轴上不连续，结论得证。13．函数把平面上的曲线和分别映成平面中的什么曲线？解：对于，其方程可表示为，代入映射函数中，得，因而映成的像曲线的方程为，消去参数，得即表示一个圆周。对于，其方程可表示为代入映射函数中，得因而映成的像曲线的方程为，消去参数，得，表示一半径为的圆周。14．指出下列各题中

5、点的轨迹或所表示的点集，并做图：解：（1），说明动点到的距离为一常数，因而表示圆心为，半径为的圆周。（2）是由到的距离大于或等于的点构成的集合，即圆心为半径为的圆周及圆周外部的点集。（3）说明动点到两个固定点1和3的距离之和为一常数，因而表示一个椭圆。代入化为实方程得（4）说明动点到和的距离相等，因而是和连线的垂直平分线，即轴。（5），幅角为一常数，因而表示以为顶点的与轴正向夹角为的射线。15．做出下列不等式所确定的区域的图形，并指出是有界还是无界，单连通还是多连通。（1），以原点为心，内、外圆半径分别为2、3的圆环区域，有界，多连通（2），

6、顶点在原点，两条边的倾角分别为的角形区域，无界，单连通（3），显然，并且原不等式等价于，说明到3的距离比到2的距离大，因此原不等式表示2与3连线的垂直平分线即2.5左边部分除掉2后的点构成的集合，是一无界，多连通区域。（4），显然该区域的边界为双曲线，化为实方程为，再注意到到2与到2的距离之差大于1，因而不等式表示的应为上述双曲线左边一支的左侧部分，是一无界单连通区域。（5），代入，化为实不等式，得所以表示圆心为半径为的圆周外部，是一无界多连通区域。习题二答案1．指出下列函数的解析区域和奇点，并求出可导点的导数。（1）（2）（3）（4）解：根

7、据函数的可导性法则（可导函数的和、差、积、商仍为可导函数，商时分母不为0），根据和、差、积、商的导数公式及复合函数导数公式，再注意到区域上可导一定解析，由此得到：（1）处处解析，（2）处处解析，（3）的奇点为，即，（4）的奇点为，2．判别下列函数在何处可导，何处解析，并求出可导点的导数。（1）（2）（3）（4）解：根据柯西—黎曼定理：（1），四个一阶偏导数皆连续，因而处处可微，再由柯西—黎曼方程解得：，因此，函数在点可导，，函数处处不解析。（2），四个一阶偏导数皆连续，因而处处可微，再由柯西—黎曼方程解得：，因此，函数在直线上可导，，因可导点

8、集为直线，构不成区域，因而函数处处不解析。（3），四个一阶偏导数皆连续，因而处处可微，并且处处满足柯西—黎曼方程因此，函数处处可导，处处解析，且导数为（4），，，，