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1、课程设计报告学院:自动化学院班级:09011006学号:2010302184学生姓名:胡晓杰指导教师:杨峰时间:2013年6月课程设计任务书一、设计内容掌握矩阵求逆的概念的原理,以及矩阵求逆的计算。编写程序完成矩阵求逆计算。要处理的数据由自己选择。二、主要技术指标(2)掌握矩阵求逆的概念的原理,以及矩阵求逆的计算。(3)用C或者C++实现矩阵求逆(4)处理结果与Matlab求逆结果对比(5)阅读矩阵求逆方面文献10篇以上三、进度要求两周完成设计任务,写5000字以上的小论文。附参考文献并在论文中进行标注。学生胡晓杰指导教师杨峰1.设计内容掌握矩阵求逆的概念的原理,
2、以及矩阵求逆的计算。编写程序完成矩阵求逆计算。要处理的数据由自己选择。2.设计过程1、矩阵的定义由个数排列成个行个列的数表称为矩阵,其中数称为矩阵的元.当时,称为阶矩阵或方阵.元素全为零的矩阵称为零矩阵,记作或简记为.两个矩阵,,如果,,则称矩阵与为同型矩阵.如果两个同型矩阵与的对应元素相等,即,,,则称矩阵与相等,记作或.[1]当时,矩阵称为行矩阵或行向量.当时,,矩阵称为列矩阵或列向量.形如的阶方阵,即主对角线以外的元素都是零的方阵称为对角矩阵或对角方阵,记作.特别当时,这时的对角矩阵叫做阶数量矩阵.当时,这时的数量矩阵叫做阶单位矩阵,记作或,在阶数不致混淆时
3、,简记为或,即.主对角线下方的元素都是零的方阵叫做上三角矩阵.主对角线上方的元素都是零的方阵叫做下三角矩阵.[2]2、逆矩阵的概念定义:设A是数域P上的一个n阶方阵,如果存在P上的n阶方阵B,使得AB=BA=E,则称A是可逆的,又称B为A的逆矩阵.当矩阵A可逆时,逆矩阵由A惟一确定,记为A-1.[3]2、矩阵的初等变换矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换:(1)将矩阵中某两行对换位置;(2)将某一行遍乘一个非零常数k;(3)将矩阵的某一行遍乘一个常数k加至另一行.并称(1)为对换变换,称(2)为倍乘变换,称(3)为倍加变换.(4)矩阵A经过初等行变换后变为B
4、,用AB表示,并称矩阵B与A是等价的3、有关矩阵求逆的定义定理定义1n级方阵A称为可逆的,如果n级方阵B,使得AB=BA=E(1)这里E是n级单位矩阵。定义2如果B适合(1),那么B就称为A的逆矩阵,记作。定理1如果A有逆矩阵,则逆矩阵是唯一的。定理2矩阵A可逆的充分必要条件是,并且当A可逆时,有。定理证明见.定理2不仅给出了判断一个矩阵是否可逆的一种方法,并且给出了求逆矩阵的一种方法,但是这种方法主要用在理论上以及2级或3级矩阵的情形,如果阶数较大,那么使用此方法计算量太大。由定理2逆矩阵判定的方法还有:推论2.1n级矩阵A可逆的充要条件是矩阵A的秩为n。推论2
5、.2矩阵A可逆的充要条件是它的特征值都不为0。推论2.3n级矩阵A可逆的充分必要条件是它的行或列向量组线性无关。[4]4、矩阵的秩前面给出了利用矩阵行列式判别方阵A是否可逆的方法,除了这种方法外,还可以利用矩阵A的特征之一——矩阵的秩来判别方阵A的可逆性.矩阵的秩是线性代数中非常有用的一个概念,它不仅与讨论可逆矩阵的问题有密切关系,而且在讨论线性方程组的解的情况中也有重要应用.在给出矩阵的秩的概念之前,先要定义矩阵的子式.定义:在矩阵A中,位于任意选定的k行、k列交叉点上的个元素,按原来次序组成的k阶子阵的行列式,称为A的一个k阶子式.如果子式的值不为零.就称为非
6、零子式.定义:矩阵A的非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩,即秩(A).规定:零矩阵O的秩为零,R(A)=0定理:设A为矩阵,则R(A)=k的充分必要条件为:通过初等行变换能将A化为具有k个非零行的阶梯阵.定理:矩阵经过初等行变换后,其秩不变.定理:给了我们求矩阵的秩的一种简便方法,即利用初等行变换将一个矩阵A化成阶梯阵,然后算出矩阵A的秩.4、矩阵可逆的条件(1)n阶方阵A可逆的充分必要条件是
7、A
8、≠0(也即r(A)=n);(2)n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以通过初等变换(特别是只通过初等行(列)变换)化为n阶单位矩阵;(3)n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可
9、以写成一些初等矩阵的乘积;(4)n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个特征值不为零;(5)对于n阶方阵A,若存在n阶方阵B使得AB=E(或BA=E),则A可逆,且A-1=B.5、逆矩阵的性质设A,B是n阶可逆矩阵,则(1)(A-1)-1=A;(2)若k≠0,则kA可逆,且(kA)-1=A-1;(3)AB可逆,且(AB)-1=B-1A-1;(4)AT可逆,且(AT)-1=(A-1)T;(5)Ak可逆,且(Ak)-1=(A-1)k;(6)
10、A-1
11、=
12、A
13、-1;(7)如果A是m×n矩阵,P是m阶可逆矩阵,Q是n阶可逆矩阵,则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ
14、).5、求
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