四点共圆(一)

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1、四点共圆【知识要点】四点共圆的判定方法：1、若四个点到一定点的距离相等，则这四个点在同一个圆上（即这四点共圆）。2、若一个四边形的一组对角的和等于180度，则这个四边形的四个顶点共圆。3、若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆。4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。5、若、两线段相交于点，且，则、、、四点共圆。6、若、两线段延长后相交于点，且，则、、、四点共圆。7、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆。【典例精讲】例1、锐角的三条高、、交于，在、、、、、、七个点中．能

2、组成四点共圆的组数是（　　）A、组B、组C、组D、组例2、如图，、、、四点在同一圆上，的延长线与的延长线交于点，且。（1）证明：；（2）延长到，延长到，使得，证明：、、、四点共圆.例3、如图，在梯形中，，点，分别在边，上，设与相交于点，若，，，四点共圆，求证：．例4、已知点，，直线过点与轴交于点，若、、、四点共圆，则的值为（）A、B、C、D、无法求出例5、在圆内接等腰三角形的底边上任取二点、，延长、分别交圆于、，求证：.例6、如图，，分别是，边上的点，且不与顶点重合，已知，，，为方程的两根.（1）证明：，，，四点共圆；（2）若，，，求，，，四点所在圆的半径．例7、如图，为圆的直径，为垂

3、直于的一条弦，垂足为，弦与交于点．（1）证明：、、、四点共圆；（2）证明：．例8、如图，在平行四边形中，为钝角，且，．（1）求证：、、、四点共圆；（2）设线段与（1）中的圆交于、．求证：．例9、如图所示，为的内心，求证：的外心与、、四点共圆.例10、、、三点共线，点在直线外，，，分别为，，的外心．求证：，，，四点共圆.例11、如图，在中，，分别是，的角平分线，是与的交点，若，，，四点共圆，，则的内切圆半径为多少？例12、如图，点是外接圆弧的中点，点、在边上，使得，。证明：、、、四点共圆.例13、如图，，，，．（1）求证：、、、四点共圆；（2）若，求线段的长．例14、在的边，，上分别取，

4、，．使得，，又点是的外心．（1）证明：，，，四点共圆；（2）证明：在的平分线上．例15、如图，为外接圆的切线，的延长线交直线于点，、分别为弦与弦上的点，且，、、、四点共圆．（1）证明：是外接圆的直径；（2）若，求过、、、的圆的面积与外接圆面积的比值．例16、如图，锐角的内心为，过点作直线的垂线，垂足为，点为内切圆与边的切点．（1）求证：，，，四点共圆；（2）若，求的度数．例17、如图，在正中，点，分别在边、上，且，，，相交于点，求证：（1），，，四点共圆；（2）．【强化训练】1、如图，是⊙的直径，弦，的延长线相交于点，垂直的延长线于点．求证：（1）；（2），，，四点共圆．2、如图，已知

5、是⊙的切线，为切点，是⊙的割线，与⊙交于，两点，圆心在的内部，点是的中点．（1）证明，，，四点共圆；（2）求的大小．3、如图，已知为半圆的直径，、分别为半圆的切线，切点分别为、，的延长线交于，的延长线交于．，为垂足．（1）求证：、、、四点共圆；（2）求证：．4、如图，已知中的两条角平分线和相交于，，在上，且．（1）证明：，，，四点共圆；（2）证明：平分．5、如图，已知是⊙的直径，是⊙的切线，割线、分别交⊙于、，连接、．求证：．6、如图，⊙与⊙相交于、两点，圆心在⊙上，⊙的弦切⊙于点，及其延长线交⊙于，两点，过点作，交的延长线于点．（1）求证：、、、四点共圆；（2）若，，求出由四点、、、

6、所确定圆的直径．7、如图所示，已知切圆于，割线交圆于、，于，与的延长线相交于点，连接并延长交圆于点，连接．（1）求证：，，，四点共圆；（2）当，时，求圆的半径．8、如图，是直角三角形，．以为直径的圆交于点点是边的中点，连交圆于点（1）求证：，，，四点共圆；（2）求证：.9、如图所示，在中，，点为三角形外的一点，以为圆心，为半径的圆与边相切，切点为，圆与边相交于点，直径与边交于点，连接．求证：．10、如图，在中，是直角，是线段上一点，以为直径的半圆交于，连接交半圆于点，延长交于．（1）求证、、、四点共圆；（2）若，求的值．11、如图所示，是⊙的直径，为延长线上的一点，是⊙的割线，过点作的

7、垂线，交的延长线于点，交AD的延长线于点，过作⊙的切线，切点为．求证：（1），，，四点共圆；（2）．12、如图，已知与⊙相切于点，为⊙的割线，弦，与相交于点，为上一点，且。（1）求证：、、、四点共圆。（2）若，，求的长．13、如图，由⊙外一点引⊙的切线、，过引割线交⊙于、。与交于。求证：.14、如图，、、是的三条高，是垂心，求证：.