参数方程完全解析(非原创)

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1、参数方程　　　　　　　　　　　目标认知学习目标：　　1.了解参数方程，了解参数的意义，能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程；　　2.了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程，了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。重点、难点：　　理解参数方程的概念及转化方法，重点掌握直线和圆的参数方程及椭圆的参数方程，并能利用它们解决一些应用问题；以及利用参数建立点的轨迹方程。知识要点梳理:知识点一：参数方程　　1.1.概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一

2、点的坐标都是某个变数的函数：　　，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）.　　相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。　　2.把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法.常见的消参方法有：代入消法；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等.　　把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性，注意方程中的参数的变化范围。互化

3、时，必须使坐标x,y的取值范围在互化前后保持不变，否则，互化就是不等价的。知识点二：常见曲线的参数方程1．直线的参数方程　　（1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为：　　（为参数）；　　其中参数的几何意义：，有，即表示直线上任一点M到定点的距离。（当在上方时，，在下方时，)。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2）过定点，且其斜率为的直线的参数方程为：　　（为参数，为为常数，）；　　其中的几何意义为：若是直线上一点，则。　　（3）若直线l的倾角a=0时，直线l的参数方程为.2．圆的参数方程　　（1）已知圆心为，半径

4、为的圆的参数方程为：9　　（是参数，）；　　特别地当圆心在原点时，其参数方程为（是参数）。　　（2）参数的几何意义为：由轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。　　　　　　　　　　　　　（3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。3.椭圆的参数方程　　（1）椭圆（）的参数方程（为参数）。　　（2）参数的几何意义是椭圆上某一点的离心角。如图中，点对应的角为（过作轴，交大圆即以为直径的圆于），切不可认为是。　　　　　　　　　　　　　　　　　

5、　　（3）从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。椭圆上任意一点可设成，为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。4.双曲线的参数方程　　双曲线（,）的参数方程为（为参数）。5.抛物线的参数方程　　抛物线()的参数方程为（是参数）。　　参数的几何意义为：抛物线上一点与其顶点连线的斜率的倒数，即。6.圆的渐开线与摆线的参数方程：　　（1）圆的渐开线的参数方程（是参数）；　　（2）摆线的参数方程（是参数）。规律方法指导9　　1.参数方程作为选考内容，试题内容涉及参数方程与普通方程的互化，直线、圆和圆锥曲线的参

6、数方程以及在解题中的应用中。由于该内容在高考试题的特殊位置，仅以填空题的形式出现一般为容易题或中等题。以考察基础知识，基本运算为主。　　2.加强消参的技巧性学习，注意等价性，消参常用的方法有代入法、三角法、加减法等。　　3.从数的角度理解，圆与椭圆的参数方程实际上是一组三角代换，为解决有关圆、椭圆问题提供了一条新的途径.经典例题精析类型一：参数方程与普通方程互化　　1.已知圆的方程是，将它表示为圆的参数方程形式。　　思路点拨:将圆的方程配方得圆的标准方程，然后利用平方和公式进行三角代换转化为参数方程。　　解析：配方得圆的标

7、准方程　　　　　令，得圆的参数方程为（q为参数）.　　总结升华：　　圆与椭圆的普通方程转化为圆与椭圆的参数方程一般都是利用进行三角代换。　　举一反三：　　【变式】化普通方程为参数方程。　　（1）　　　　　（2）　　【答案】：（1）配方得圆的标准方程，　　　　　　　　　令，得圆的参数方程为（q为参数）.　　　　　　　（2）变形得，令，　　　　　　　　　得椭圆的参数方程为（q为参数）.　　2．把参数方程化为普通方程　　(1)(，为参数)；　　　　(2)(，为参数）；　　(3)　(,为参数)；　　　　　　(4)(为参数).　　思

8、路点拨:　　（1）将第二个式子变形后，把第一个式子代入消参；　　（2）利用三角恒等式进行消参；　　（3）观察式子的结构，注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法；或把用表示，反解出后再代入另一表达式即可消参；　　（4）此题是（3）题的变式，仅仅是把换成而已，因而消参方法依旧，但需要注意