向量和五心-建国中学图书馆-最新消息

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1、向量和三角形的五心台北市立成功高中游經祥、劉國莉壹、前言：在本校自然資優班的一次數學課堂中，筆者講到以下的性質：在中，若點為的重心，則，其中點為任一點。下課後，有位許同學便到辦公室提出以下的問題：（1）在中，點為的重心，可得到的結果；那麼反過來，若有一點，滿足，是否保證點為的重心呢？（2）在中，另外的四心，即內心、垂心、外心、傍心，是否也有類似充要條件的性質呢？當時筆者告訴許同學，重心、內心、傍心有類似性質，其中重心的性質是充要條件沒錯；至於內心、傍心的性質是否為充要，還須再證明看看；而垂心、外心的向

2、量充要性質老師還沒看過，容老師再思考一些時間。接到許同學的問題後，筆者便與劉國莉老師一起討論，經過仔細探討之後，我們得到以下的結果：1.重心向量性質的充要條件與證明。2.內心向量性質的充要條件與證明。3.傍心向量性質的充要條件與證明。4.外心向量性質的充要條件與證明。5.垂心向量性質的充要條件與證明。貳、重心的向量性質：我們將三角形重心與向量性質的充要條件寫成定理1如下：定理1：如圖（一），在中，則點為的重心的充要條件為（其中點為任一點）圖（一）證明：設點為的重心，延長交於點，則，。因此，。設點為任一

3、點，。另一方面，已知，其中點為任一點，令代入得。延長交於點，設，共線，，得。因此，，故為邊上的中線。同理可證：延長交於點，則為邊上的中線，故點為的重心。参、內心的向量性質：我們先證明三角形的內分比性質的充要條件，再進一步證明三角形內心與向量性質的充要條件，分別寫成性質1及定理2如下：性質1：圖（二）如圖（二），在中，點為上的一點，則為的角平分線的充要條件為證明：證明省略。圖（三）如圖（三），設中，，，，因，設，，為正數。作交的延長線於點，則。可知，又，得為的角平分線。定理2：如圖（四），在中，點為任一

4、點，則點為的內心的充要條件為圖（四）證明：已知點為的內心，延長交於點，則，。因此，。設點為任一點，。已知，其中點為任一點，可取點等於點代入，得。延長交於點，設，因共線。，由性質1可知：為的角平分線。同理，可證為的角平分線，因此點為的內心。肆、傍心的向量性質：我們先證明三角形的外分比性質的充要條件，再進一步證明三角形傍心與向量性質的充要條件，分別寫成性質2及定理3如下：性質2：圖（五）如圖（五），在中，則為的外角平分線（點在的延長線上）的充要條件為。證明：已知為的外角平分線，作平行交於點；又平行，，即得

5、。由平行可得。已知，作交於點，。，。因此為的外角平分線。定理3：如圖（六），在中，點為任一點，則（1）點為所對之傍心的充要條件為。（2）點為所對之傍心的充要條件為圖（六）（3）點為所對之傍心的充要條件為證明：只證明（1），而（2）與（3）同理，故省略。如圖（六），點為，所對之傍心。過點作平行分別交、的延長線於、。由性質1，可設，，又且，由。所以。設為任一點，。已知，令點為點代入，得。設交於點，可設，因共線。，由性質1知：為的內角平分線。另一方面，令點為點代入，得，，。又為的內角平分線；因此，。，由性質

6、2可知：為的外角平分線。同理可證：為的外角平分線。故為中所對之傍心。伍、外心的向量性質：我們將三角形外心與向量性質的充要條件寫成定理4如下：定理4：如圖（七），在中，點為任一圖（七）點，則點為的外心的充要條件為，（其中表的面積）證明：如圖（七），已知點為的外心，，，。設於點，於點，則。同理，。設-------（＊），由方程組（＊）可得。由海龍公式，其中，可知。由方程組（＊）可得，。所以。設平面上任一點，。已得到，利用面積公式，及餘弦定理、、代入上式，即可得。圖（八）已知，點為平面上任一點，令點為點代入

7、，得。如圖（八），設點為中點，，。因此。所以，直線為的中垂線。同理可證為的中垂線。故點為的外心。陸、垂心的向量性質：我們將三角形垂心與向量性質的充要條件寫成定理5如下：定理5：如圖（九），在中，點為任一點，則點為的垂心的充要條件為（其中表的面積）圖（九）證明：如圖（九），中，，，。於點，於點，點為的垂心。則，，；因此，。設------（＊＊）。由方程組（＊＊）可得。，。設平面上任一點，接者，將面積公式，及餘弦定理、、代入，即可得。如圖（九），已知，點為任一點。令點為點代入，得。。因此，直線垂直。同理可

8、證，直線垂直，故點為的垂心。柒、結論：我們在本文的探討研究中，發現學生有時會提出看似平凡而卻容易被遺漏的問題，而這些問題在被提出後，往往是令人覺得深思的問題。平常在教學過程中，看到三角形的重心，便自然想到向量的性質的口訣，甚至很少特別提出這是三角形重心的充要條件；內心、傍心亦復如是。匆匆歲月，經過學生提問，才激勵我們將三角形五心與向量性質的充要條件，作進一步的整理，並完成五心與向量性質充要條件的證明，實在是感恩學生的提問與智慧。從探討中我們深深感到教學相