《方程的根与函数的零点》教学设计与反思

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1、基本信息课题人教版A版必修1第三章第一节《函数与方程》教材分析本节是在学习了前两章函数性质的基础上，利用函数的图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与对应方程的根的关系以及掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法；为下节“二分法求方程的近似解”和后续学习的算法提供基础。因此本节内容具有承上启下的作用，非常重要。1．结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。2．零点的存在性定理的探究。2．本节核心内容的功能和价值：初步了解函数与方程的思想。学情分析1．学生掌握了基本初等函数，对函数有较好的掌握，对新的知识有渴求，同时为函

2、数的应用提供一个基础。2．学生认知发展分析：学生对一元二次方程的根有较好的认识，但学生对于函数零点还是未知，而且函数与方程的思想还没有接触。3．学生认知障碍点：方程的根与函数零点的关系，零点存在性定理的探究。教学目标知识与技能：了解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程间的关系，掌握利用函数性质判定零点存在的条件。过程与方法：零点存在性的探索、发现、及判定。情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的数形结合思想，转化思想和近似思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用。教学重点和难点重点：零点的概念及存在性的判定，重在数形结合的几何方法

3、。难点：零点的确定．教学过程（教学过程的表述不必详细到将教师、学生的所有对话、活动逐字记录，但是应该把主要教学环节、教师活动、学生活动、设计意图很清楚地再现。）教学环节教师活动预设学生行为设计意图设置思考，引导学生归纳总结结论教师：设置思考，引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系，引出零点的概念．思考：一元二次方程的根与二次函数的图像有什么关系？先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：方程与函数方程与函数方程与函数学生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．情境设置应符合认知规律：从具体到抽象，从特殊到一般，从学生熟

4、悉的经验和有兴趣的问题开始。教师：根据学生由特殊情况归纳出来的结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？提问个别学生回答，其他同学进行补充。引入概念教师板书函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．教师引导学生阅读概念并提问学生对概念的理解函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．教师提问：如何求函数的零点？求函数的零点：（代数法）求方程的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．学生：仔细体会阅读，感悟其中的思想方法．学生：认真理

5、解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：代数法；几何法．强化学生的阅读理解能力，把握关键词。组织探究教师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．零点存在性的探索：观察二次函数的图象：在区间上有零点______；_______，_______,·_____0（＜或＞）．在区间上有零点______；·____0（＜或＞）．由以探索，你可以得出什么样的结论？板书：零点存在性定理如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线并且有·<0，那么函数在区间（a,b）内有零点,即存在c((a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)

6、=0的根.。教师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．学生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．学生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．培养学生的探究发现能力，及思维的严密性。例题学习例1．求函数的零点个数．解：用信息技术作出x,的真值表和函数的图象教师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机多媒体来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．问题：1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？学生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图

7、象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数．加强对定理的认识尝试练习1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）；（2）；2．利用信息技术作出函数的图象，并指出下列函数零点所在的大致区间：（1）；（2）；教师：结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用．学生练习初步有函数与方程的思想小结作业小结：1、零点的概念2、函数的零