空间中的垂直问题练习题答案

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1、空间线线、线面、面面垂直关系练习题一、填空题1．给出下列三个命题：①“直线、为异面直线”的充分非必要条件是“直线、不相交”；②“直线垂直于直线”的充分非必要条件是“直线垂直直线在平面内的射影”；③“直线垂直平面”的必要非充分条件是“直线垂直于平面内的无数条直线”其中所有真命题的序号是③2．如图，正方形ABCD，P是正方形平面外的一点，且PA⊥平面ABCD则在△PAB、△PBC、△PCD、△PAD、△PAC及△PBD中，为直角三角形有______5___个．3．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面各边都相等，M是PC

2、上的一动点，当点M满足时，平面MBD⊥平面PCD．4．已知三棱锥的底面是正三角形，点在侧面上的射影是的垂心，且的长为定值，则下列关于此三棱锥的命题：①点在侧面上的射影是的垂心；②三棱锥是一个正三棱锥；③三棱锥的体积有最大值；④三棱锥的体积有最小值.其中正确命题的序号为①②③.5．如果a,b是异面直线，P是不在a,b上的任意一点，下列四个结论：（1）过P一定可作直线L与a,b都相交；（2）过P一定可作直线L与a,b都垂直；（3）过P一定可作平面与a,b都平行；（4）过P一定可作直线L与a,b都平行，其中正确的结论有___（2）_

3、_____．6．给出下列命题：①分别和两条异面直线AB．CD同时相交的两条直线AC．BD一定是异面直线②同时与两条异面直线垂直的两直线不一定平行③斜线b在面α内的射影为c，直线a⊥c，则a⊥b④有三个角为直角的四边形是矩形，其中真命题是①．7．点P在直径为2的球面上，过P作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和为最大值是．8．正四面体ABCD的棱长为1，棱AB//平面，则正四面体上的所有点在平面内的射影构成图形面积的取值范围是．9．直二面角α－－β的棱上有一点A，在平面α、β内各有一条射线AB，A

4、C与成450，AB，则∠BAC=．（或，两种情形）10.四棱锥的底面是矩形，面，为的中点，为上一点，且面，则＝.11．已知边长为的正，点分别在边上，且，以为折痕，把折起至，使点在平面上的射影始终落在边上，记，则的取值范围为．【答案】【解析】设到的距离为，则与间距离为，的面积为的取值范围为．12．三棱锥中，，点在△内，且，则的度数是_________．13.如图，与是四面体中互相垂直的棱，，若，且，其中、为常数，则四面体的体积的最αβPABDC大值是。【答案】14．如图，已知平面平面，、是平面与平面的交线上的两个定点，，且，，，

5、，，在平面上有一个动点，使得，则的面积的最大值是12.二、解答题15．如图，正方形所在的平面与三角形所在的平面交于，平面，且．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；证明：（1）正方形ABCD中，，又平面CDE，平面CDE，所以平面CDE．（2）因为，且，所以，又且，所以，又，所以．16.如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，EC＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：（1）平面BDM⊥平面ECA（2）平面DEA⊥平面ECA17.如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，．(1)设是上的一点，证明：

6、平面平面；ABCMPD(2)求四棱锥的体积．(1)证明：在中，由于，，，所以．故．又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，故平面平面．(2)解：过作交于，由于平面平面，所以平面．因此为四棱锥的高，又是边长为4的等边三角形．因此．在底面四边形中，，，所以四边形是梯形，在中，斜边边上的高为，4此即为梯形的高，所以四边形的面积为．18.如图１，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=600，E是BC的中点．如图2，将△ABE沿AE折起，使二面角B—AE—C成直二面角，连结BC，BD，F是CD的中点，P是棱BC的中

7、点．(1)求证：AE⊥BD；(2)求证：平面PEF⊥平面AECD；(3)判断DE能否垂直于平面ABC?并说明理由．ABCDE图1ABCDEFP图2证明：(1)连接，取中点，连接．在等腰梯形中，∥，AB=AD，，E是BC的中点，与都是等边三角形平面，平面．平面，．(2)连接交于点，连接∥，且＝，∴四边形是平行四边形。∴N是线段的中点。∵P是线段的中点，∥平面平面．(3)与平面不垂直．假设平面，则．∵平面．．，平面，平面．，这与矛盾与平面不垂直．ABCC1B1A1FDEM19.如图，三棱柱中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在

8、棱上，已知.(1)求证:∥平面ADF;(2)若点M在棱上，当为何值时，平面⊥平面ADF?分析：（1）要证明,可通过线线平行和面面平行两条路来证明线面平行.Ⅰ.要在平面中找到与平行的直线，可反用线面平行的性质，利用过的平面与平面的交线,这里注意为的重心，（）,再利用比例关系证明