三角函数的有关概念、同角三角函数的关系式及诱导公式

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1、第四章　三角函数第1讲　三角函数的有关概念、同角三角函数的关系式及诱导公式考纲展示　命题探究1　三角函数的有关概念(1)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{β

2、β＝α＋2kπ，k∈Z}．(2)角度与弧度的互化①360°＝2πrad；②180°＝πrad；③1°＝rad；④1rad＝°≈57.30°.(3)弧长及扇形面积公式①弧长公式：l＝

3、α

4、r；②扇形面积公式：S＝lr＝

5、α

6、r2.其中l为扇形弧长，α为圆心角，r为扇形半径．(4)任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，α的终边上任意一点P(与原点不重合)的坐标为(x，y

7、)，它到原点的距离是r＝.三角函数定义定义域sinαRcosαRtanα(5)三角函数在各象限的符号记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(6)三角函数线角所在的象限第一象限第二象限第三象限第四象限图形2　同角三角函数基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tanα＝.3　诱导公式及记忆规律(1)诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα——

8、(2)诱导公式的记忆规律①诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．②“奇”“偶”指的是诱导公式k·＋α中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k为奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．③“符号看象限”指的是在k·＋α中，将α看成锐角时k·＋α所在的象限．注意点　应用三角函数定义和平方关系求值时注意正负号选取(1)利用三角函数的定义求解问题时，认清角终边所在的象限或所给角的取值范围，以确定三角函数值的符号．(2)利用同角三角函数的平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断符号后正确取舍.1．思维辨析(1)1

9、20°角的正弦值是，余弦值是－.(　　)(2)同角三角函数关系式中的角α是任意角．(　　)(3)六组诱导公式中的角α可以是任意角．(　　)(4)诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与α的大小无关．(　　)(5)锐角是第一象限角，反之亦然．(　　)(6)终边相同的角的同一三角函数值相等．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)√2．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα＝(　　)A.B.C．－D．－答案　D解析　由三角函数的定义知cosα＝＝－.故选D.3．(1)角－870°的终边所在的象限是(　　)A．

10、第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．答案　(1)C　(2)4　6π解析　(1)因为－870°＝－2×360°－150°，又－150°是第三象限角，所以－870°的终边在第三象限．(2)弧长l＝3π，圆心角α＝π，由弧长公式l＝

11、α

12、·r，得r＝＝＝4，面积S＝lr＝6π.　[考法综述]　对于角的概念、三角函数的定义单独命题的概率很小，多与其他知识相结合．如三角恒等变换、同角关系式及诱导公式等，题型一般为选择题、填空题形式，属于中低档题目，考查学生的基本运算能力

13、及等价转化能力．命题法　三角函数的概念，同角三角函数关系式，诱导公式的应用典例　　(1)已知sinαcosα＝，且<α<，则cosα－sinα的值为(　　)A．－B.C．－D.(2)若角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sinθ＝m，则cosθ的值为________．(3)已知扇形周长为40，当它的半径r＝________和圆心角θ＝________分别取何值时，扇形的面积取最大值？(4)已知cos＝，则sin＝________.[解析]　(1)∵<α<，∴cosα<0，sinα<0且

14、cosα

15、<

16、sinα

17、，∴cosα－sinα>0.又(cosα

18、－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，∴cosα－sinα＝.(2)点P(－，m)是角θ终边上一点，由三角函数定义可知sinθ＝.又sinθ＝m，∴＝m.又m≠0，∴m2＝5，∴cosθ＝＝－.(3)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.又S＝θr2＝r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100.当且仅当r＝10时，Smax＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2.∴当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．(4)∵＋＝－，∴α－＝－－，∴sin＝sin，＝－cos＝－.[答案]　(1)B　(2)－　(3)10　

19、2　(4)－【解题法】　同角关系式的应用技巧和诱导公式使用原则步骤(1)同角关系