妙解函数图象问题

《妙解函数图象问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、妙解函数图象问题　　图象作为表示函数的重要形式之一，具有直观、明了的特点.考生在高中数学的学习过程中，要能够结合已知条件来识别图象，学生要能够根据相关图形匹配出其相对应的函数解析式，当题干中没有图象时，考生要能够应用数形结合来解答相关问题.本文以近三年来高考中出现的图像题为载体，分析图象题的考察方式及解题方法，以达到抛砖引玉之效.　　一、考察内容　　纵观近三年各个省市的高考题，基本上每年的每一套数学试卷中都会有关于函数图象的题目，从选择题、填空题到大题均有涉及.分析近三年以来的试题，不难发现函数图象题的考察主要包括函数解析式、函数的定义域、值域及函数的单调性、

2、奇偶性、周期性等函数的基本特性，再根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.　　二、真题精讲　　例1（2016四川文科，4）　　为了得到函数y=sin（x+π3）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）.　　A.向左平行移动π3个单位长度　　B.向右平行移动π3个单位长度　　C.向上平行移动π3个单位长度　　D.向下平行移动π3个单位长度　　答案：A　　解析　　由题意，为得到函数y=sin（x+π3），只需把函数y=sinx的图象上所有点向左移π3个单位，故选A.　　点评这道题目考察的是三角函数图象的平移问题，而三角函数作为特殊的函数，其图象具有周期性

3、的特点，考生经常要充分结合函数的周期性进行求解.　　例2（2016山东文科，17）　　设f（x）=23sin（π-x）sinx-（sinx-cosx）2.　　（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；　　（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移　　π3个单位，得到函数　　y=g（x）的图象，求g（π6）的值.　　答案：（Ⅰ）f（x）的单调递增区间是　　把y=f（x）?D象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到　　y=2sin（x-π3）+3-1的图象，再把得到的图象向左平移π/3个单位，得到　　y=2

4、sinx+3-1的图象，即g（x）=2sinx+3-1.　　所以g（π6）=2sinπ6+3-1=3.　　点评这道题考察了三角函数的图象和性质，主要考察了三角函数图象的伸缩变换.需要注意，图象纵向伸缩，只需要在函数值前边乘以变化的倍数即可；图象横向伸缩，需要变换函数解析式中的周期.　　例3（2016全国卷理科，12）　　已知函数f（x）（x∈R）满足　　f（-x）=2-f（x），若y=x+1x与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则　　mi=1（xi+yi）=（）.　　A.0B.mC.2mD.4m　　答案：B　　解析由f

5、-x=2-fx得fx的图象关于0，1对称，而y=x+1x=1+1x的图象也关于0，1对称，　　∴对于每一组对称点xi+xi′=0，yi+yi′=2，　　∴∑mi=1xi+yi=∑mi=1xi+∑mi=1yi=0+2?m2=m，故选B.　　点评这道题考察的是函数图象的对称性，函数图象的对称问题在高中最常见的有三种：关于x轴对称，关于y轴对称，关于原点对称，考生要熟练掌握并运用这三种对称，其他的对称基本上都是在这三种情况的基础上演变而来.　　例4（2015全国安徽文科，10）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图1所示，则下列结论成立的是（）.图1　　解

6、析由函数f（x）的图象可知a>0，令x=0d>0，又f′（x）=3ax2+2bx+c，可知x1，x2是f′（x）=0的两根，由图可知x1>0，x2>0，∴x1+x2=-2b3a>0x1x2=c3a>0b0；故A正确.　　点评这道题考察了考生通过函数的图象来判断函数解析式中系数的符号，需要结合函数图象的单调性、极值等特点来判断.　　例5（2014全国卷Ⅰ理科，6）　　如图2，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在＼[0，

7、π＼]上的图象大致为（）.　　答案：B　　解析在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=

8、cosx

9、，所以点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM

10、sinx

11、=

12、cosx

13、×

14、sinx

15、=0.5

16、sin2x

17、，周期为T=π/2，最大值为1/2，最小值为0，由图象可知，只有B符合.　　例6（2014全国卷文科，21）　　已知函数f（x）=x3-3x2+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为-2.（Ⅰ）求a；　　（Ⅱ）证明：当k<1时，曲线y=f（x）与直线y=kx-2只有一个交点.　　图3　　解析这道题考察的是函

18、数的单调性问题，对于函数的单调性，考生