华中师范大学2009年随机过程试题a卷附答案

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1、p,-h念卡4H华中师范大学2009-2010学年第1学累期末考试试卷（A卷）课程名称应用随机过程课程编号44510300任课教师题型—'二三四五总分分值1015154515100得分得分评阅人-、判断题：（共5题，每题2分）1.布朗运动和Poisson过程都是Markov过程。（T）2.二阶矩过程一定是宽平稳过程。（F）3.不可约的有限状态马氏链必为正常返的。（T）4.所有连续时间的马尔可夫链都有柯尔莫哥洛夫向前、向后方程。（F）5.尤尔（Yule）过程是一类特殊的生灭过程。（T）MN,s)逛•1•IalivIVIfli—IIiviv——SBVivinI—^vl—I————iiflHV—a

2、itiv———tI得分评阅人二、证明题：（共1题，每题15分）设X,⑴和X2⑴是分别具有参数4和A2的相互.独立的泊松过程，证明（1）K⑴=X,⑴+X2⑴是具有参数A,+A2的泊松过程；（2）义⑴二:^⑴一^^⑴不是泊松过程。(1)显然{y(z)}是独立增量过程，且P{y(r-r)-y(r)=zi}=P{Xx(z+D+X^z+D-X.Cz)-%//)^^}=p{XI(z+r)-X1(r)+X2(r+r)-X2(r)=«}=XPlX2(t+r)-X2(t)=n-i,XSt+r)-XSt)=i}/•=()打=SP{X2(t^r)-X2(t)=n-i}^P[XSt+r)-XSt)=i}/=0-f,

3、-々，(¥)'•,TJV)"-'/!(n-i)!i-a+W((乂i+^)r)"一€n故{no}服从参数U,+A2)的泊松过程。(2)EZ(t)=£[X,(O-X2(Z)]=EX^t)-£X2(Z)=(/ll-A2)Z,DZ(t)=D[X}(t)-X2(t)]=DX,(Z)+DX2(z)=(/l1+/l2)z由于£Z(r)*DZ(t),故Z(0不是泊松过程。得分评阅人三、计算题：（共1题，每题15分）设移K到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有2户定居，即A=2.如果每户的人口数是随机变量，一户叫人的概率为丄，一户三人的概率为丄，一户二人的概率力丄，一户一人的概率为丄，并且每6336广的

4、人口数是相互独立的，求在五周内移L＜到该地K人口的数学期望与方差。设yv⑴为在时间［o,d内的移民户数，k表¥每户的人口数，则在io,d内的移民人数N(t)I是一个复合泊松过程，K是想到独立且具行相同分布的随机变量，其分布列为p(y=i)=p(y=4)=丄，p(y=2)=p(y=3)=-.63£y:*，£y24根据题意知N（r）在五周内是强度为10的泊松过程，由定理mx(5)=10x£y,=10x—=25,6ctx(5)=}0xEY}2=Wx—=—.x163得分评阅人四、综合题:（共3题，每题15分）-）设质点在数轴上移动，每次移动一格，向右移动的概率为p，向左移动的概率为q=l-p，这种运

5、动称为无限制随机游动，以％„表示时刻n质点所处的位罝，则a）说明｛,hgT｝是一个齐次马尔可夫链b）试写岀它的一步转移概率矩阵。c）写出k步转移概率解由于pq常值，齐次性显然。又｛X,,，託r｝的状态1=｛0，±1，±2，...｝其一步转移概率设在第k步转移中向右移了x步，向左移了y步，且经过k步转移状态从i进入j,则y=k,x-y=j-i，从而x=k^-U-i）k-U-i）22由于x，y都只能取整数，所以k±（j-i）必须是偶数，又在k步屮哪x步向右，哪y步叫左是任意的，选取的方法有种，于是{k}Cxkpxqh（j-i）为偶数Pij~{o,A+G-f）为奇数二）设河流每年的BOD（生物

6、耗氧量）浓度为齐次马尔可夫链，状态空间1={1，2,3}，是按BOD浓度为低，屮，高分别表示的，BOD浓度高时河流视为被污染。其一步转移概率矩阵（以一年为单位）为"0.70.10.2"P:0.10.80.10.050.050.9a）证明该链是遍历马氏链b）求该马尔可夫链的平稳分布。c）求河流W次达到污染的平均时间（即该状态的平均返回吋间）。解a）因为马尔可夫链是不可约的非周期有限状态，所以遍历b）所以马尔可夫链平稳分布存在，由定理可得方程组7ix=0.7^,+0.1^2+0.05^37T2=0.1%+0.8^2+0.05^3<7r3=0.2^,+0.1^2+0.97r3TTj+7T2^3=1

7、解上述方程组得平稳分布为=—=0.17647n、=—=0.235947T,=—=0.588217“17317c）状态.«3=iru7年三）没义⑴和为复值平稳过程，且相互独立。求z（z）=jv（z）yxz）的相关函数/?zCv,z）=£[ZCv）Z（r）],7并论证Z（z）是否为平稳过程。解：由于X(l)和Y(t)是相互独立是平稳过程，故EZ(t)=E(X(t)Y(t))=EX(t)EY(t)=mxmY=常数