《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案解析)

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1、WORD文档下载可编辑《椭圆》方程典型例题20例典型例题一例1椭圆的一个顶点为,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程.分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置.解:(1)当为长轴端点时,,,椭圆的标准方程为:;(2)当为短轴端点时,,,椭圆的标准方程为:;说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况.典型例题二例2一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率.解:∴,∴.说明:求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求,求,再求比.二是列含和的齐次方程,再

2、化含的方程,解方程即可.典型例题三例3已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点,为中点,的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.解:由题意,设椭圆方程为,由,得,专业资料整理分享WORD文档下载可编辑∴,,,∴,∴为所求.说明:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题.典型例题四例4椭圆上不同三点,,与焦点的距离成等差数列.(1)求证;(2)若线段的垂直平分线与轴的交点为,求直线的斜率.证明:(1)由椭圆方程知,,.由圆锥曲线的统一定

3、义知:,∴.同理.∵,且,∴,即.(2)因为线段的中点为,所以它的垂直平分线方程为.又∵点在轴上,设其坐标为,代入上式,得专业资料整理分享WORD文档下载可编辑又∵点,都在椭圆上,∴∴.将此式代入①,并利用的结论得∴.典型例题五例5已知椭圆,、为两焦点,问能否在椭圆上找一点,使到左准线的距离是与的等比中项?若存在,则求出点的坐标;若不存在,请说明理由.解:假设存在,设,由已知条件得,,∴,.∵左准线的方程是,∴.又由焦半径公式知:,.∵,∴.专业资料整理分享WORD文档下载可编辑整理得.解之得或.①另一方面.②则①与②矛盾,所以满足条

4、件的点不存在.说明:(1)利用焦半径公式解常可简化解题过程.(2)本例是存在性问题,解决存在性问题,一般用分析法,即假设存在,根据已知条件进行推理和运算.进而根据推理得到的结果,再作判断.(3)本例也可设存在,推出矛盾结论(读者自己完成).典型例题六例6已知椭圆,求过点且被平分的弦所在的直线方程.分析一:已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为,利用条件求.解法一:设所求直线的斜率为,则直线方程为.代入椭圆方程,并整理得.由韦达定理得.∵是弦中点,∴.故得.所以所求直线方程为.分析二:设弦两端坐标为、,列关于、、、的方程组,从而求斜率

5、:.解法二:设过的直线与椭圆交于、,则由题意得专业资料整理分享WORD文档下载可编辑①-②得.⑤将③、④代入⑤得,即直线的斜率为.所求直线方程为.说明:(1)有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点轨迹;过定点的弦中点轨迹.(2)解法二是“点差法”,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率.(3)有关弦及弦中点问题常用的方法是:“韦达定理应用”及“点差法”.有关二次曲线问题也适用.典型例题七例7求适合条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的2倍,且过点;(2)在轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相

6、垂直,且焦距为6.分析:当方程有两种形式时,应分别求解,如(1)题中由求出,,在得方程后,不能依此写出另一方程.解:(1)设椭圆的标准方程为或.由已知.①又过点,因此有或.②由①、②,得,或,.故所求的方程为专业资料整理分享WORD文档下载可编辑或.(2)设方程为.由已知,,,所以.故所求方程为.说明:根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”.关键在于焦点的位置是否确定,若不能确定,应设方程或.典型例题八例8椭圆的右焦点为,过点,点在椭圆上,当为最小值时,求点的坐标.分析:本题的关键是求出离心率,把转化为到右准线的距离,从而

7、得最小值.一般地,求均可用此法.解:由已知:,.所以,右准线.过作,垂足为,交椭圆于,故.显然的最小值为,即为所求点,因此,且在椭圆上.故.所以.说明:本题关键在于未知式中的“2”的处理.事实上,如图,,即是到右准线的距离的一半,即图中的,问题转化为求椭圆上一点,使到的距离与到右准线距离之和取最小值.典型例题九例9求椭圆上的点到直线的距离的最小值.专业资料整理分享WORD文档下载可编辑分析:先写出椭圆的参数方程,由点到直线的距离建立三角函数关系式,求出距离的最小值.解:椭圆的参数方程为设椭圆上的点的坐标为,则点到直线的距离为.当时,.

8、说明:当直接设点的坐标不易解决问题时,可建立曲线的参数方程.典型例题十例10设椭圆的中心是坐标原点,长轴在轴上,离心率,已知点到这个椭圆上的点的最远距离是,求这个椭圆的方程,并求椭圆上的点的距离等于的点的坐标.分析:本题

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