《线性代数》复习提纲

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1、《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似

2、变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分：基本知识一．矩阵　1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；　2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则

3、AB

4、=

5、A

6、

7、B

8、；④

9、kA

10、=

11、A

12、　3．矩阵的秩（1）定义　非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；

13、（2）秩的求法　　一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。　4．逆矩阵　（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝E，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；　（2）性质：　(AB)=(B)*(A)，(A)=(A)；(AB的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）　（3）可逆的条件：　①　

14、A

15、≠0；　②r(A)=n;③A等价于E;（4）逆的求解伴随矩阵法　A=(1/

16、A

17、)A

18、*；(A*A的伴随矩阵~)②初等变换法（A:E）(施行初等变换)（E:A）　5．用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B，则X=（A）B；XB=A，则X=B(A)；AXB=C，则X=(A)C(B)二、行列式1．行列式的定义用n个元素aij组成的记号称为n阶行列式。　（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；　（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算一阶

19、α

20、=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法　定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子

21、式乘积的和。　方法：选取比较简单的一行（列），保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：　Ⅰ　行列式某行（列）元素全为0；Ⅱ　行列式某两行（列）的对应元素相同；Ⅲ　行列式某两行（列）的元素对应成比例； 三、线性方程组1．线性方程组解的判定定理：(1)r(A,b)≠r(A)无解；(2)r(A,b)=r(A)=n有唯一解；(3)r(A,b)=r(A)

22、；(2)r(A)

23、A

24、≠0只有零解(2)

25、A

26、=0有非零解2．齐次线性方程组（1）解的情况：r(A)=n，（或系数行列式D≠0）只有零解；r(A)

27、1+c2α2+…+Cn-rαn-r。（3）无穷多组解的求解方法和步骤：　与齐次线性方程组相同。（4）唯一解的解法：　有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）。四、向量组1．N维向量的定义注：向量实际上就是特殊的矩阵（行矩阵和列矩阵）。2．向量的运算：　（1）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；　（2）向量内积　α'β=a1b1+a2b2+…+anbn；（3）向量长度　

28、α

29、=√α'α=√(a1^2+a2^2+…+an^2)(√根号)（4）向量单位化　(1/

30、α

31、)α；（5）向量组的正交化（施密特方法）　设α1，α2，…，αn线

32、性无关，则　β1=α1，　β2=α2-（α2’β1/β1’β）*β1，　β3=α3-（α3’β1/β1’β1）*β1-（α3’β2/β2’β2）*β2，………。3．线性组合（1）定义　若β=k1α1+k2α2+…+knαn，则称β是向量组α1，α2，…，αn的一