对数公式的运算

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1、对数公式的运用1．对数的概念如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．由定义知：①负数和零没有对数；②a>0且a≠1，N>0；③loga1=0，logaa=1，alogaN=N(对数恒等式)，logaab=b。特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N，简记为lgN；以无理数e(e=2．71828…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN．2．对数式与指数式的互化式子名称ab=N指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(真数)(对数)3．对数的运

2、算性质如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么(1)loga(MN)=logaM+logaN．(2)loga（M/N）=logaM-logaN．(3)logaMn=nlogaM(n∈R)．问：①公式中为什么要加条件a>0，a≠1，M>0，N>0?②logaan=?(n∈R)③对数式与指数式的比较．(学生填表)式子ab=N，logaN=b名称：a—幂的底数b—N—a—对数的底数b—N—运算性质：am·an=am+nam÷an=am-n(a>0且a≠1，n∈R)logaMN=logaM+logaNlogaMN=logaMn=(n∈R)(a>0，a≠1，M>0，N>0)难点疑点突破对数定义中，为什

3、么要规定a＞0，，且a≠1?理由如下：①a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28=?②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数?③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数?为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数?12解题方法技巧1．(1)将下列指数式写成对数式：①54=625；②26=64；③3x=27；④13m=5．73．(2)将下列对数式写成指数式：①log216=4；②log2128=7；③log327=x；④lg0．01=-2；⑤ln10=2．303；⑥lgπ=k．解析由对数定义：ab=N，logaN=b．解答

4、(1)①log5625=4．②log264=6．③log327=x．④log135．73=m．解题方法指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=NlogaN=b(2)①24=16，②27=128，③3x=27，④10-2=0．01，⑤e2．303=10，⑥10k=π．2．根据下列条件分别求x的值：(1)log8x=-2/3；(2)log2(log5x)=0；(3)logx27=3×；(4)logx(2+)=-1．解析(1)对数式化指数式，得：x==?(2)log5x=20=1．x=?(3)3×3log32=?．27=x?(4)2+=x-1=1/x．x=?解答(1)x===2

5、-2=1/4．(2)log5x=20=1，x=51=5．(3)logx27=3×=3×2=6，∴x6=27=33=()6，故x=．(4)+=x-1=1/x，∴x=1/(+)=．解题技巧①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化．②熟练应用公式：loga1=0，logaa=1，alogaM=M，logaan=n．3．已知logax=4，logay=5，求A=〔x5/12·y-1/3〕的值．解析：12思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值；思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用

6、对数式的运算求值?解答：解法一∵logax=4，logay=5，∴x=a4，y=a5，∴A=x(5/12)y(-1/3)=(a4)5/12(a5)-1/3=a5/3·a-5/3=a0=1．解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得logaA=loga(x(5/12)y(-1/3))=(5/12)logax-(1/3)logay=(5/12)×4-(1/3)×5=0，∴A=1．解题技巧有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算．4．设x，y均为正数，且x·y1+lgx=1(x≠1/10)，求lg(xy)的取值范围．解析一个等式中含两个变

7、量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数．因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数?解答∵x>0，y>0，x·y1+lgx=1，两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0．即lgy=-lgx/(1+lgx)(x≠1/10，lgx≠-1)．令lgx=t，则lgy=-t/