向量空间及线性变换

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1、向量空间典型例题：1设线性无关，问解：设即由是线性无关知，由，知当。2在，设，试求解：由，设为另一组基，则，所以取，则线性无关且满足题意。3证明：设证明：设是的一组基，令则，设又，所以，即故又由维数公式知维所以故。证毕！4设的解空间，证明：。证明：显然，下证任意，则，记由知同理故综上。对任意的，有，所以，故故。证毕！注意：本题的证法是证明直和最常用的方法，第一步证明号成立；第二步是证明直和成立。本题的逆命题同样成立。证明：由，知维从而，即故。5设，，证明：。分析：（1）(2)证明：（略）。证毕！6设，证明：证明：（1）任意的，，则故（2）

2、任意的又从而，所以证毕！7设。证明：由条件，知因此，令，则。设，维在中任取非零向量，由于，所以又维，故，故是的一组基。由知。证毕！8维。分析：利用同构思想。9设余证明：因为所以余证毕！注意：利用如下定理：设矩阵，则。10设解：注意到，从而矩阵的特征多项式所以，故。11设矩阵，求证：不能对角化。证明：若果能对角化，则存在可逆矩阵，所以，故。即，所以。这与已知条件矛盾！从而假设不成立故不能对角化。证毕！12设证明：设即，所以由，知当。当。故，从而故，令，则，故可对角化。证毕！13设的特征向量都是的特征向量证明：的特征向量，由于互不相同，所以线

3、性无关。有所以故即，从而，令，则，故。同上题证明方法。证毕！14设，证明：（1）的每一个特征子空间都是的不变子空间。（2）在中有公共特征向量。证明：（1）设的属于特征值的一个特征子空间，对于任意的，因为，所以故。（2）若，则所以在，从而存在属于，即所以，故是的属于的特征向量，又注意到所以是的公共特征向量。15设，证明：可逆。证明：设，因为，所以是的一组基。由可逆，知是的一组基，从而=又是的一组基；是一组基故。，因为，所以是的一组基。又因为，所以是的一组基。故可逆。证毕！注意：在必要性证明中是的一组基是这样证明的。只要说明线性无关即可，设，

4、记所以，从而，故，故线性无关。另外要注意这种方法和维数公式的证明过程中所用的方法是一样的。在充分性的证明中，最后可逆的证明方法是这样的。任意，则定义，显然是一个线性变换，而所以，故可逆。16设，证明：；。证明：（1）任意的，则，所以，故又任意的，则，所以，故，故。（2）任意的，有，显然，，所以。又显然，故。设任意的，则所以，所以，故故。证毕！17设为同阶方阵，并且，证明：在复数域上，证明：因为，所以存在可逆矩阵，使得因为，所以，从而，，记则，所以，故从而=同样道理所以，故证毕！18设阶矩阵，。证明：设秩，则存在可逆矩阵所以，从而秩故。19

5、设。证明：设，在，扩充为，所以。又，因此，所以。下证：线性无关。设，即，故故又由的线性无关性知从而线性无关，故命题成立。证毕！20，证明：。证明：一方面：对任意的，则，从而，所以，故。另一方面：对任意的，则。所以，从而，因此。故。证毕！21设是的两个线性变换，如果秩，则有公共特征向量。证明：因为秩，及，，所以，故，故。这样，存在，从而故有公共特征向量。证毕！22设为阶方阵，且，则（1）（2）。（3）秩。证明：（1）设，由知，，即。当此时不是的特征值。当是的特征向量。反之，因为，所以，从而，故，即同样道理，的特征向量也是的特征向量。（2）若

6、相似于对角形，则存在可逆矩阵即，令，从而，即。由（1）知，，设分别为的特征向量，即，从而，，即故，故。同必要性证明方法（略）。（3）由，知，所以秩同样道理，故秩。证毕！23设，证明：（1）（2）存在一组基。证明：（1）由维数公式知，，故（2）设，则不妨设，取设，两边作用注意到，得。由则，从而故线性无关，即存在的一组基，使得。证毕！24令（1）写出的矩阵。（2）求的若当标准型。解：（1），则,其中，又其中，故的矩阵。（2）因为所以的行列式因子为，的不变因子。的初等因子为，故的若当标准型为。25设，证明：；；，则。证明：（1）（2）问同16题

7、。（3）任意，由（2）知所以因为。故，所以，故又，知所以。反之，，因为，所以。，由，知所以，所以任意的。综上：。证毕！26设是有限维线性空间，证明：存在唯一的的子空间，使。证明：设，（反证）若，则，在扩充成，令则有，令，则有仍为的基，故。但是，这与题意矛盾，所以假设不正确，从而命题成立。证毕！27设，已知有3个线性无关的特征向量，是的二重特征根，试求可逆矩阵，使为对角形。解：因为有3个线性无关的特征向量，所以可以对角化。又是的二重特征根，所以注意到，知故。28用是有理数域上的多项式，，令，（1）求的所有特征值。（2）求的所有特征子空间。（

8、3）是否可以对角化。若可以，求可逆矩阵，使得。解：（1）由=知的特征值为。（2）当所以，故。当即，解方程组得。故特征向量为，所以的特征子空间为及。（3）易知线性无关，所以可对角化。取，易知是可