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1、
2、指数与指数函数【知识梳理】一、指数运算1、根式（1）概念：若（），则称x为a的n次方根，“”是方根的记号．（2）a的n次方根的性质：在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根．①；②n为奇数，=a；n为偶数，=
3、a
4、=2、有理数指数幂（1）分数指数幂的意义：①（注：无意义）；②；③．（2）指数幂的运算性质①；②；③；④．二、指数函数1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R
5、．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．
6、2、指数函数的图象与性质图象01yxOy=1(0,1)yxOy=1(0,1)性质定义域：R．值域为：(0,+∞)．过定点：(0,1)，即x=0时，y=1．当时，；当时，．当时，；当时，．在R上单调递减．在R上单调递增．【典型例题】题型一、根式的化简、指数幂的运算例题1：化简：（1）；（2）；（3）．【解析】（1）；（2）；（3）=【点评】不注意n的奇偶性对式子的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用‘本题易错的是第（
7、3）题，往往忽视a与2大小的讨论，造成错解．例题2：计算：（1）；（2）··．【解析】（1）原式；（2）3··=3·3·3·3=3=32=9．【点评】利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算．变式1：化简：（1）；（2）；
8、（3）．【解析】（1）原式=；（2）原式；（3）原式．【点评】本题考查的是有理数指数幂的综合运算能力，一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式．变式2：若，，则________．【解析】．【点评】本题考查的是分数指数幂运算的逆运算以及整体思
9、想的运用，将、看作一个整体，再进行代数运算．题型二、指数函数概念、定义域和值域例题3：下列函数中属于指数函数的有（）个．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）．A．2B．3C．4D．5【解析】选A．只有（4）（6）属于指数函数的形式．【点评】在判断是否为指数函数时，应严格按照的形式来判断，特别要注意函数中是否有表明的取值范围．例题4：求下列函数的定义域和值域：（1）2；（2）()；（3）y=ax-1(a>0，a≠1)．【解析】（1）令x-4≠0，则x≠4，所以函数y=2的定义域是｛x∈R∣x≠4｝，又因为≠0，所
10、以2≠1，即函数y=2的值域是｛y
11、y>0且y≠1｝．（2）因为-
12、x
13、≥0，所以只有x=0.因此函数y=()的定义域是｛x∣x=0｝．而y=()=()0=1，即函数y=()的值域是｛y∣y=1｝．（3）定义域为R，因为的值域为，所以的值域为．
14、y=dxy=cxy=bxy=axOyx【点评】由于指数函数y=ax,(a＞0且a≠1)的定义域是R，所以这类类似指数函数的函数的定义域和值域要借助指数函数的定义域来求，并利用好指数函数的单调性．例题5：如图，设a,b,c,d>0，且不等于1，y=ax，y=bx，y=cx，y=dx在同一坐
15、标系中的图象如图，则a,b,c,d的大小顺序【】A、a1时，指数函数底数越大，图象越靠近y轴；当0<底数<1时，指数函数底数越小，图象越靠近y轴．变式3：函数恒过定点___________．【解析】因为y=ax过点（0，1），所以当x=0时，y=1+5=6，所以原函数过定点（0,6）．【点评】解决定点问题，关键是理解指数函数的定点．变式4：已知指
16、数函数的图象过点（），（1）求的值；（2）利用图像比较三个函数值的大小．【解析】（1）设指数函数f(x)=ax（a＞0且a≠1）因为图象过点（3,π），所以f(3)=a3=π，即a=π，f(x)=(π)x．再把0,1,3分别代入,得：f(0)=π0=1，f(1)=π1=π，f(-3)=π-1=．（2）由图易知f(1)>f(0)>f(-3)．【点评】根据待定系数法求函数解析式，这是方程思想的运用．变式5：当时，函数和的图象只可能是（）1xyO1xyO1xyO1xyOABCD【解析】选项A中一次函数，指数函数应是减函数，故A对．选项
17、B中一次函数，指数函数应是增函数，故B错．选项C中一次函数，指数函数应是减函数，故C错．
18、选项D中一次函数，指数函数应是增函数，故D错．故答案选A．【点评】利用一次函数和指数函数的关系来确定图象，是本题的关键．题型三、解指数式方程、不等式例题6：解下列方程：（1
