复变函数论第三版钟玉泉第三章

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1、一、积分的定义1.有向曲线:设C为平面上给定的一条光滑(或分段光滑)曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,第三章复变函数的积分第一节复积分的概念极其简单性质1简单闭曲线正向的定义:简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时,邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.与之相反的方向就是曲线的负方向.在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点,另一个作为终点,除特殊声明外,正方向总是指从起点到终点的方向.分段光滑的简单闭

2、曲线简称为周线.22.积分的定义:(3二、积分存在的条件及其计算方法1.存在的条件证参数增加的方向,,正方向为根据线积分的存在定理,4当n无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,在形式上可以看成是公式52.积分的计算方法在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的,曲线C是按段光滑的.即6例1解直线方程为这两个积分都与路线C无关例2解积分路径的参数方程为7例3解积分路径的参数方程为重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.一个重要而常用的积分公式8复积分与实变函数的定积分有类似的性质.绝对不等式三、复积分的性质9例4解根据估值不等式知10一、问题的提出此

3、时积分与路线无关.第二节柯西积分定理由于不满足柯西－黎曼方程,故而在复平面内处处不解析.由以上讨论可知,积分是否与路线有关,可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.11二、柯西积分定理定理中的C可以不是简单曲线.关于定理的说明:(1)如果曲线C是区域B的边界,(2)如果曲线C是区域B的边界,定理仍成立.12例1解根据柯西积分定理,有例2证由柯西积分定理,由柯西积分定理,由上节例4可知,三、典型例题13例3解根据柯西积分定理得14(1)注意定理的条件“单连通域”.(2)注意定理的不能反过来用.应用柯西积分定理应注意什么?151.问题的提出根据本章第一

4、节的讨论可知,由此希望将柯西积分定理推广到多连域中.四、柯西积分定理的推广—复合闭路定理2.闭路变形原理︵︵16︵︵︵︵︵︵︵︵得17解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.闭路变形原理说明:在变形过程中曲线不经过函数f(z)的不解析的点.183.复合闭路定理那末194.典型例题例1解依题意知,根据复合闭路定理,20例2解圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,21例3解由复合闭路定理,此结论非常重要,用起来很方便,因为不必是圆,a也不必是圆的圆心,只要a在简单闭曲线内即可.22例4解由上例可知复合闭路定理与闭路变形

5、原理是复积分中的重要定理,掌握并能灵活应用它是本章的难点.常用结论:23定理一由定理一可知:解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关,1.两个主要定理:五、原函数与不定积分24定理二证利用导数的定义来证.由于积分与路线无关,25由积分的估值性质,此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似.[证毕]262.原函数的定义:原函数之间的关系:3.不定积分的定义:定理三(类似于牛顿-莱布尼兹公式)27证根据柯西积分定理,[证毕]说明:有了以上定理,复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算.4.典型例题例1解由牛顿-莱布尼兹公式知,28例

6、2解(使用了微积分学中的“凑微分”法)例3解由牛顿-莱布尼兹公式知,另解此方法使用了微积分中“分部积分法”29例4解利用分部积分法可得课堂练习答案例5解30例6解所以积分与路线无关,由牛顿-莱布尼兹公式知,31一、问题的提出根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线C的变化而改变,求这个值。第三节柯西积分公式及其推论32二、柯西积分公式定理证此式称为柯西积分公式33证根据闭路变形原理知,左端积分的值与R无关,所以只有在对所有的R积分值为零时才有可能.[证毕]34(1)把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示.(这是解析函数的又一特征)(2)公式不但提

7、供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具)(3)解析函数的平均值定理：一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.则有柯西积分公式的重要性在于:一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示,所以它是研究解析函数的重要工具.35三、典型例题例1解由柯西积分公式36例2解(1)由柯西积分公式由柯西积分公式这种解法对吗？为什么？37例3解由柯西积分公式38例4解由闭路复合定理,得39例5解根据柯西积分公式知,比较两式得40例6解被积函数是多值函数，支点为f(z)的原函数仍是

8、多值函数，在代入上、下限时需要考虑对应的单值分支。0141其中积分方向应是顺时针方向.柯西积分公式对无界区域