千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第100炼利用同构特点解决问题

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1、........................................................................第100炼利用同构特点解决问题一、基础知识：1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式2、同构式的应用：（1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。可比较大小或解不等式（3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点。特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即

2、为直线的方程（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解二、典型例题：例1：（2015天津十二校联考）设，满足，则（）A.B.C.D.思路：本题研究对象并非，而是，进而可变形为，观察上下式子左边结构相同，进而可将相同的结构视为一个函数，而等式右边两个结果互为相反数，可联想到函数的奇偶性，从而利用函数性质求解解：设，可得为奇函数，由题意可得：专业技术资料........................................................................答案：B例2：

3、若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是_____________思路：注意到是增函数，从而得到，即，发现两个式子为的同构式，进而将同构式视为一个方程，而为该方程的两个根，的取值只需要保证方程有两根即可解：为增函数为方程在上的两个根，即有两个不同的根令所以方程变形为：，结合图像可得：答案：例3：设，则

4、“”是“”的（　　）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件　D.既不充要又不必要条件思路：观察可发现其同构的特点，所以将这种结构设为函数专业技术资料.........................................................

5、...............，分析其单调性。可得为增函数。所以，即，所以是充要条件答案：C例4：若，则（）A.B.C.D.答案：C思路：本题从选项出发可发现，每个选项通过不等式变形将分居在不等式两侧后都具备同构的特点，所以考虑将相同的形式构造为函数，从而只需判断函数在的单调性即可解：A选项：，设，设，则有恒成立，所以在单调递增，所以，从而存在，使得，由单调性可判断出：，所以在不单调，不等式不会恒成立B选项：，设可知单调递增。所以应该，B错误C选项：，构造函数，，则在恒成立。所以在单调递减，所以成立D选项：，同样构造，由C选项分析可知D错误专业技术资料..........

6、..............................................................答案：C例5：已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（）A.B.C.D.思路：观察条件可变形为：，从而得到等式左右的结构均为的形式，且括号内的数间隔为1。所以。因为为偶函数，所以，由可得，进而答案：A例6：如果，那么的取值范围是________思路：本题很难直接去解不等式，观察式子特点可发现若将关于的项分居在不等号两侧：，则左右呈现同构的特点，将相同的结构设为函数，能够判断是奇函数且单调递增。所以不等式等价于，即，所以

7、，结合，可得答案：专业技术资料........................................................................例7：如图，设点在直线上，过点作双曲线的两条切线，切点为，求证：直线过某一个定点解：设，的斜率为则，联立方程消去可得：，整理可得：，因为与双曲线相切所以代入可得：即即同理，切线的方程为在切线上，所以有满足直线方程，而两点唯一确定一条直线所以当时，无论为何值，等式均成立专业技术资料..............................................................

8、..........点恒在直线上，故无论在何处，恒过定点例8：已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，它的一个顶点为，离心率为（1）求椭圆的方程（2）过右焦点作直线交椭圆于，交轴于，若，求解：（1）解得（2）思路：本题肯定从入手，将向量关系翻译成坐标的方程，但观察发现两个等式除了不同，系数不同，其余字母均相同。且也仅是角标不同。所以可推断由列出的方程是同构的，而在同一椭圆上，所以如果用表示，代入椭圆方程中也可能是同构的。通过计算可得：，所以为方程的两个不同根，进而利用韦达定理即可得到解：由（1）得，设直线，可得，设可得：，由可得：①因