资源描述：
《高等数学2new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三章函数极限与连续函数（16课时）教学目的1理解各种函数极限定义的思想及其几何意义；注：与函数在的取值无关2熟练书写各种函数极限的定义和它们的否定叙述；3会应用函数极限定义证明某些函数的极限；4掌握函数极限的四则运算和性质，并能用它们求函数的极限；5理解函数极限与数列极限的关系；6理解连续函数定义，掌握连续函数的四则运算及不连续点的类型7掌握无穷大量与无穷小量的阶的含义，利用等价无穷小量求极限；8掌握闭区间上连续函数的性质证明，并能应用解决一些理论问题；9一致连续的定义及有关性质。教学要求1进一步培养极限思想；2培养学生整体与局部的观念。教学重点1掌握函数极限的四则运算和性质，并能用它们
2、求函数的极限；2理解函数极限与数列极限的关系；3连续函数定义的理解，求函数的极限；4利用等价无穷小量求极限；5闭区间上连续函数的性质证明，并能应用解决一些理论问题。教学难点1书写各种函数极限的定义和它们的否定叙述2连续函数定义的理解及应用；3等价量求极限；4闭区间上连续函数的性质证明及应用；5等价无穷小量求极限；6一致连续的定义。§1函数极限（4时）教学目的1理解各种函数极限定义的思想及其几何意义；注：与函数在的取值无关2熟练书写各种函数极限的定义和它们的否定叙述；3会应用函数极限定义证明某些函数的极限；4掌握单侧极限的定义及函数在一点有极限的充要条件；5理解函数极限与数列极限的关系；教学
3、过程1函数极限的定义1.1时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例1（1）（2）（3）证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有（4）（5）(类似有1.2单侧极限:1.2.1定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例2验证证考虑使的1.2.2单侧极限与双侧极限的关系:例3证明:极限不存在.例4设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=3时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域 其中为充分大的正数．然后用这些邻域语言介绍几何意义．例5验证下列极限(1)(2)(
4、3)验证证……2函数极限的性质我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.以定理形式给出.2.1唯一性:2.2局部有界性:2.3局部保序性:2.4单调性(不等式性质):若和都存在,且存在点的空心邻域,使都有证设=(现证对有)註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.2.5夹逼性:见教材P76例3.1.43极限的四则运算见教材P77思考：和中至少有一个不存在极限，则四则运算的情形如何？4求极限的有关方法4.1利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：（注意前四个极限中极限就是函数值）这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有一些基本极限作为公式用利用
5、极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例6求下列极限:(1)(利用极限和)(2)(3)註:关于的有理分式当时的极限.参阅P83例3.1.12.(4)[利用公式](5)(6)(7)(8)(9)(10)已知求和(11)已知求和()4.2两个重要极限（夹逼法可证）（同理有）证对有例7求下列极限(1)(2).(3)(4)(5)证明极限不存在.(6)特别当等.(7)(8)(9)5函数极限存在的条件介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限为例.5.1Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系：设函数在点的某空心邻域内有定义
6、.则极限存在,对任何且都存在且相等.(证)Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为单调趋于.例8证明且不存在.5.2Cauchy准则:(Cauchy准则)设函数在点的某空心邻域内有定义.则存在,,证(利用Heine归并原则)Cauchy准则的否定:不存在的充要条件.例9用Cauchy准则证明极限不存在.证取作业：P87—88No2双号题No7No8No12、13§2连续函数(4时)教学目的1、理解连续函数定义，掌握连续函数的四则运算及不连续点的类型；2、掌握反函数及复合函数的连续，能根据复合函数的连续性求函数的极限。教学过程1
7、、函数在一点的连续性：1．1函数在一点连续的定义:由图解引出解析定义用。“”定义。注意函数在一点连续的定义与函数在一点的极限的区别。函数在一点连续需要同时满足以下条件：（1）函数在一点有定义；（2）函数在一点有极限；（3）函数在一点的极限等于这点的函数值。其他等价定义：（1）先定义和。用或或；（2）连续的Heine定义。例1用“”定义验证函数在点连续.例2试证明:若则在点连续.1．2单侧连续:定义单侧连续,并图解.见教材
