快速傅里叶变换在数字信号分析与处理中的应用

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1、4同酸嗲淀信号分析与处理期末考查论文系另?！电气工程系专业电气工程及其自动化1班年级11级学号1109141003姓名陈爱东授课教师董德智2013年6月18日快速傅里叶变换在数字信号分析与处理中的应用摘要快速傅氏变换（FFT）,是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。傅里叶变换的理论与方法在“数理方程”、“线性系统分析”、“信号处理、仿真”等很多学科领域都有着广泛应用，由于

2、计算机只能处理有限讼度的离散的序列，所以真正在计算机上运算的是一种离散傅里叶变换.虽然傅里叶运算在各方面计算中有着重要的作用，但是它的计算过于复杂，大量的计算对于系统的运算负担过于庞大，使得一些对于耗电量少，运算速度慢的系统对其敬而远之，然而，快速傅里叶变换的产生，使得傅里叶变换大为简化，在不牺牲耗电量的条件下提高了系统的运算速度，增强了系统的综合能力，提高了运算速度，因此快速傅里叶变换在生产和生活中都冇着非常重要的作用，对于学习掌握都有着非常大的意义。关键词快速傅氏变换；快速算法；简化；广泛应用绪论傅立叶变换在生产生活中的重要性非常突出，它将原来

3、难以处理的时域信号相对比较容易地转换成了易于分析的频域信号，可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工，把信号转化为可以对其进行各种数学变化的数学公式，对其进行处理。最后还可以.利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成吋域信号，它是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。然尔，它在运算上过于复杂，过于宏大的运算过程，对于一些相对简单的低功耗处理器来说，难以自如应对，因此，快速傅里叶变换则显出了它的优越性。快速傅氏变换（FFT）,是离散傅氏变挽的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立

4、叶变换的算法进行改进获得的。对于计算机处理信号方面上是一大进步。系统的速度不但取决于本身的速度，而且还在相当大的程度上取决于算法，算法运算量的大小直接影响着对设备的控制质量。通过傅立叶变换（DFT）,运用测试软件进行检测，付以看出快速傅里叶变换大大的提高了运算速度，它为各系统的设计提供了简单算法，有着十分重要的意义。一.快速傅里叶变换原理数字信号的傅里叶变换，通常釆用离散傅里叶变换(DFT)方法。DFT存在的不足是计算量太大，很难进行实时处理。计算一个N点的DFT，一般需要W2次复数乘法和N(N-l)次复数加法运算.因此，当N较大或要求对信号进行实

5、时处理时，往往难以实现所需的运算速度。1965年，J.W.Cooly和J.W.Tukey发现了DFT的一种快速算法,经其他学者进一步改进，很快形成了一套高效运算方法,这就是现在通用的快速傅里叶变换，简称FFT(TheFastFourierTransform)。快速傅里叶变换的实质是利用式(1)中的权函数^^的对称性和周期性，把N点DFT进行一系列分解和组合，使整个DH的计算过程变成一系列叠代运算过程，使DFT的运算量大大简化，为DFT及数字信号的实时处理和应用创造了良好的条件。快速傅里叶变换算法如下：X(h)=Zk=oxqn=04z2-N-1(l)

6、由(1)式可知，对每一个n,计算X(n)须作N次复数乘法及N-1次复数加法，要完成这组变换共需N2次乘法及N(N-l)次复数加法。但以K介绍的快速傅里叶变换的算法，可大大减少运算次数，提高工作效率。当7V=2'‘时，n和k可用二进制数表示：n=2r_,nr_}+2r~2n卜2+•••+%=nr_tnr_2•••n0^Y-ik=2r_1kr_Y+2r~2kr_24-k{}=kr_{kr_2•••k(、一pn又记W=则(1)式可改写为x(vr_2K=。…SL人，⑵式中：P-nk-(2/_lA:r_,+2/_2々r_2Hh々0)x(2/_lnr_,+2

7、/_2nr_2HHn{))=ly(rt卜，+2r_2"r_2+".+«o)2r-1(2卜丨+2r'2nr_2+•--+w0)2r'2kr_2yy^0(2r_,nr_j+2r~2«r_2+•••+«(,)(3)因为=广=1所以(2)可改成v2工=。…zL,义0(夂-1kr-2•••ki)、]y(2r}nr-i+2r2Mr-2+“.+«6)2r_1心.1(2r--i+2r~2nr_2+•--+rt0)2r~2kr_2yy(2,_l«r_,+2卜2"r_2+•••+〜)(4)义2（¥人-3…么）=2^2/0（认-2••A）W（2，，，+，，n）2r'2

8、^2⑸x（W2…”0）=人（，W••V丨）则式（5）即为式（4）的分解形式。将初始数据代入式（5）的第一个等式，可得每一组