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5、档可编辑技术资料专业分享WORD文档可编辑第五章相似矩阵及二次型1.试用施密特法把下列向量组正交化:(1);解根据施密特正交化方法,,,.(2).解根据施密特正交化方法,,,.2.下列矩阵是不是正交阵:技术资料专业分享WORD文档可编辑(1);解此矩阵的第一个行向量非单位向量,故不是正交阵.(2).解该方阵每一个行向量均是单位向量,且两两正交,故为正交阵.3.设x为n维列向量,xTx=1,令H=E-2xxT,证明H是对称的正交阵.证明因为HT=(E-2xxT)T=E-2(xxT)T=E-2(xxT)T=E-2(xT)TxT=E-2xxT,所以H是对称矩阵.因为HTH
6、=HH=(E-2xxT)(E-2xxT)=E-2xxT-2xxT+(2xxT)(2xxT)=E-4xxT+4x(xTx)xT=E-4xxT+4xxT=E,所以H是正交矩阵.4.设A与B都是n阶正交阵,证明AB也是正交阵.证明因为A,B是n阶正交阵,故A-1=AT,B-1=BT,(AB)T(AB)=BTATAB=B-1A-1AB=E,故AB也是正交阵.5.求下列矩阵的特征值和特征向量:技术资料专业分享WORD文档可编辑(1);解,故A的特征值为l=-1(三重).对于特征值l=-1,由,得方程(A+E)x=0的基础解系p1=(1,1,-1)T,向量p1就是对应于特征值l
7、=-1的特征值向量.(2);解,故A的特征值为l1=0,l2=-1,l3=9.对于特征值l1=0,由,得方程Ax=0的基础解系p1=(-1,-1,1)T,向量p1是对应于特征值l1=0的特征值向量.对于特征值l2=-1,由,得方程(A+E)x=0的基础解系p2=(-1,1,0)T,向量p2就是对应于特征值l2=-1的特征值向量.对于特征值l3=9,由技术资料专业分享WORD文档可编辑,得方程(A-9E)x=0的基础解系p3=(1/2,1/2,1)T,向量p3就是对应于特征值l3=9的特征值向量.(3).解,故A的特征值为l1=l2=-1,l3=l4=1.对于特征
