指数函数经典例题(答案)

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1、指数函数1.指数函数的定义:函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数定义域是R2.指数函数的图象和性质:在同一坐标系中分别作出函数y=,y=,y=,y=的图象.我们观察y=,y=,y=,y=图象特征,就可以得到的图象和性质。a>10

2、关系是_____.  分析:先求的值再比较大小,要注意的取值是否在同一单调区间内.  解:∵,  ∴函数的对称轴是.  故,又,∴.  ∴函数在上递减,在上递增.  若,则,∴;  若,则,∴.  综上可得,即.  评注:①比较大小的常用方法有:作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等.②对于含有参数的大小比较问题,有时需要对参数进行讨论.2.求解有关指数不等式  例2 已知,则x的取值范围是___________.  分析:利用指数函数的单调性求解,注意底数的取值范围.  解:∵,  ∴函数在上是增函数,  ∴,解得.∴x的取值范围是.  评注:利用指数函数的单调性解不等式,需将不等式两边

3、都凑成底数相同的指数式,并判断底数与1的大小,对于含有参数的要注意对参数进行讨论.3.求定义域及值域问题  例3 求函数的定义域和值域.  解:由题意可得,即,  ∴,故.∴函数的定义域是.  令,则,  又∵,∴.∴,即.  ∴,即.  ∴函数的值域是.  评注:利用指数函数的单调性求值域时,要注意定义域对它的影响. 4.最值问题  例4 函数在区间上有最大值14,则a的值是_______.  分析:令可将问题转化成二次函数的最值问题,需注意换元后的取值范围.  解:令,则,函数可化为,其对称轴为.  ∴当时,∵,  ∴,即.  ∴当时,.  解得或(舍去);  当时,∵,  ∴,即,  ∴

4、时,,  解得或(舍去),∴a的值是3或.  评注:利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用,比如:换元法,整体代入等. 5.解指数方程  例5 解方程.  解:原方程可化为,令,上述方程可化为,解得或(舍去),∴,∴,经检验原方程的解是.  评注:解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解,要注意验根.  6.图象变换及应用问题  例6 为了得到函数的图象,可以把函数的图象(  ).  A.向左平移9个单位长度,再向上平移5个单位长度  B.向右平移9个单位长度,再向下平移5个单位长度  C.向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度  D.向右平移2个单位长度,再向下平移5个单位长

5、度  分析:注意先将函数转化为,再利用图象的平移规律进行判断.  解:∵,∴把函数的图象向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度,可得到函数的图象,故选(C).  评注:用函数图象解决问题是中学数学的重要方法,利用其直观性实现数形结合解题,所以要熟悉基本函数的图象,并掌握图象的变化规律,比如:平移、伸缩、对称等.习题1、比较下列各组数的大小:  (1)若,比较与;  (2)若,比较与;  (3)若,比较与;  (4)若,且,比较a与b;  (5)若,且,比较a与b.   解:(1)由,故,此时函数为减函数.由,故.  (2)由,故.又,故.从而.  (3)由,因,故.又,故.从而.  (4

6、)应有.因若,则.又,故,这样.又因,故.从而,这与已知矛盾.  (5)应有.因若,则.又,故,这样有.又因,且,故.从而,这与已知矛盾.  小结:比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解.2,曲线分别是指数函数,和的图象,则与1的大小关系是( ).         (  分析:首先可以根据指数函数单调性,确定,在轴右侧令,对应的函数值由小到大依次为,故应选.  小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识.求最值3,求下列函数的定义域与值域.(1)y=2;(2)y=4x+2x+1+1.解

7、:(1)∵x-3≠0,∴y=2的定义域为{x|x∈R且x≠3}.又∵≠0,∴2≠1,∴y=2的值域为{y|y>0且y≠1}.(2)y=4x+2x+1+1的定义域为R.∵2x>0,∴y=4x+2x+1+1=(2x)2+2·2x+1=(2x+1)2>1.∴y=4x+2x+1+1的值域为{y|y>1}.4,已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值解:设t=3x,因为-1≤

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