随机信号课件第二章 平稳随机过程的谱分析

《随机信号课件第二章 平稳随机过程的谱分析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第2章平稳随机过程的谱分析2021/6/292本章要解决的问题随机信号是否也可以应用频域分析方法?傅里叶变换能否应用于随机信号？相关函数与功率谱的关系功率谱的应用采样定理白噪声的定义2021/6/2932.1随机过程的谱分析一预备知识1付氏变换设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t)满足在范围内满足狄利赫利条件绝对可积，即信号的总能量有限，即有限个极值有限个断点断点为有限值2021/6/294则的傅里叶变换为：其反变换为：称为的频谱密度，也简称为频谱。包含：振幅谱相位谱2021/6/2952帕塞瓦等式即能量谱密度2021/6/296二随机过程的功率谱密度应用截取函数2021/6

2、/297当x(t)为有限值时，的傅里叶变换存在应用帕塞瓦等式除以2T取集合平均2021/6/298令，再取极限，交换求数学期望和积分的次序功率Q非负存在（1）Q为确定性值，不是随机变量（2）为确定性实函数。注意：2021/6/299两个结论：1表示时间平均若平稳22021/6/2910功率谱密度：描述了随机过程X(t)的功率在各个不同频率上的分布——称为随机过程X(t)的功率谱密度。对在X(t)的整个频率范围内积分，便可得到X(t)的功率。对于平稳随机过程，有：2021/6/2911例：设随机过程，其中皆是实常数，是服从上均匀分布的随机变量，求随机过程的平均功率。解：不是宽平稳的2

3、021/6/29122021/6/2913三功率谱密度与自相关函数之间的关系确定信号：随机信号：平稳随机过程的自相关函数功率谱密度。1维纳—辛钦定理若随机过程X(t)是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即：2021/6/29142.证明：2021/6/2915设则所以：2021/6/2916则(注意，且，。因此，通常情况下，第二项为0)2021/6/2917推论：对于一般的随机过程X(t)，有：平均功率为：利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函数的性质，又可将维纳—辛钦定理表示成：2021/6/29183．单边功率谱由于实平稳过程x(t)的自相关函数

4、是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函数。有时我们经常利用只有正频率部分的单边功率谱。2021/6/2919例：平稳随机过程的自相关函数为，A>0，，求过程的功率谱密度。解：应将积分按＋和－分成两部分进行2021/6/2920例：设为随机相位随机过程其中，为实常数为随机相位，在均匀分布。可以推导出这个过程为广义平稳随机过程，自相关函数为求的功率谱密度。2021/6/2921解：注意此时不是有限值，即不可积，因此的付氏变换不存在，需要引入函数。2021/6/2922例：设随机过程，其中皆为常数，为具有功率谱密度的平稳随机过程。求过程的功率谱密度。解：2021/6/2923四平稳随机过程

5、功率谱密度的性质1功率谱密度为非负的,即证明：2功率谱密度是的实函数2021/6/29243对于实随机过程来说，功率谱密度是的偶函数，即证明：是实函数又2021/6/29254功率谱密度可积，即证明：对于平稳随机过程，有：平稳随机过程的均方值有限2021/6/29262.2联合平稳随机过程的互谱密度一、互谱密度考虑两个平稳实随机过程X(t)、Y(t)，它们的样本函数分别为和，定义两个截取函数、为：2021/6/2927因为、都满足绝对可积的条件，所以它们的傅里叶变换存在。在时间范围(-T，T)内，两个随机过程的互功率为:（注意、为确定性函数，所以求平均功率只需取时间平均）由于、的傅

6、里叶变换存在，故帕塞瓦定理对它们也适用，即:2021/6/2928注意到上式中，和是任一样本函数，因此具有随机性，取数学期望，并令得：2021/6/2929定义互功率谱密度为：则2021/6/2930同理，有：且以上定义了互功率和互功率谱密度，并导出了它们之间的关系。2021/6/2931二、互谱密度和互相关函数的关系自相关函数功率谱密度F互相关函数互谱密度F定义：对于两个实随机过程X(t)、Y(t)，其互谱密度与互相关函数之间的关系为即2021/6/2932若X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，则有即结论：对于两个联合平稳(至少是广义联合平稳)的实随机过程，它们的互谱密度与其互

7、相关函数互为傅里叶变换。2021/6/2933三、互谱密度的性质性质1：证明：＝（令）2021/6/2934性质2：证明：（令）同理可证2021/6/2935性质3：证明：类似性质2证明。性质4：若X(t)与Y(t)正交，则有证明：若X(t)与Y(t)正交，则所以2021/6/2936性质5：若X(t)与Y(t)不相关，X(t)、Y(t)分别具有常数均值和，则证明：因为X(t)与Y(t)不相关，所以（）2021/6/2937性质6：例：设两个随机过程X(t)和Y(t)