2013年江苏省常州市中考真题数学

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2013年江苏省常州市中考真题数学一.选择题1.(2分)在下列实数中，无理数是(　　)A.2B.3.14C.D.解析：A、2是有理数，故本选项错误；B、3.14是有理数，故本选项错误；C、-是有理数，故本选项错误；D、是无理数，故本选项正确.答案：D.　2.(2分)如图所示圆柱的左视图是(　　)A.B.C.D.解析：此圆柱的左视图是一个矩形.答案：C.　3.(2分)下列函数中，图象经过点(1，-1)的反比例函数关系式是(　　) A.B.C.D.解析：设经过点(1，-1)的反比例函数关系式是y=(k≠0)，则-1=，解得，k=-1，所以，所求的函数关系式是y=-或.答案：A.　4.(2分)下列计算中，正确的是(　　)A.(a3b)2=a6b2B.a·a4=a4C.a6÷a2=a3D.3a+2b=5ab解析：A、(a3b)2=a6b2，故本选项正确；B、a·a4=a5，故本选项错误；C、a6÷a2=a6-2=a4，故本选项错误；D、3a与2b不是同类项，不能合并，故本选项错误.答案：A.　5.(2分)已知：甲乙两组数据的平均数都是5，甲组数据的方差，乙组数据的方差，下列结论中正确的是(　　)A.甲组数据比乙组数据的波动大B.乙组数据的比甲组数据的波动大C.甲组数据与乙组数据的波动一样大D.甲组数据与乙组数据的波动不能比较解析：由题意得，方差＜，A、甲组数据没有乙组数据的波动大，故本选项错误；B、乙组数据的比甲组数据的波动大，说法正确，故本选项正确；C、甲组数据没有乙组数据的波动大，故本选项错误；D、甲组数据没有乙组数据的波动大，故本选项错误；答案：B.　6.(2分)已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是(　　)A.相离B.相切 C.相交D.无法判断解析：∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为5，∵6＞5，即：d＜r，∴直线L与⊙O的位置关系是相交.答案：C.　7.(2分)二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表：给出了结论：(1)二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为-3；(2)当时，y＜0；(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧.则其中正确结论的个数是(　　)A.3B.2C.1D.0解析：由表格数据可知，二次函数的对称轴为直线x=1，所以，当x=1时，二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为-4；故(1)小题错误；根据表格数据，当-1＜x＜3时，y＜0，所以，-＜x＜2时，y＜0正确，故(2)小题正确；二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，分别为(-1，0)(3，0)，它们分别在y轴两侧，故(3)小题正确；综上所述，结论正确的是(2)(3)共2个.答案：B.　8.(2分)有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b(b＞a)的矩形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，则拼成的正方形的边长最长可以为(　　)A.a+bB.2a+bC.3a+bD.a+2b解析：3张边长为a的正方形纸片的面积是3a2，4张边长分别为a、b(b＞a)的矩形纸片的面积是4ab，5张边长为b的正方形纸片的面积是5b2，∵a2+4ab+4b2=(a+2b)2，∴拼成的正方形的边长最长可以为(a+2b)，答案：D.　二.填空题 9.(4分)计算-(-3)=　　，|-3|=　　，(-3)-1=　　，(-3)2=　　.解析：-(-3)=3，|-3|=3，(-3)-1=-，(-3)2=9.答案：3；3；-；9.　10.(2分)已知点P(3，2)，则点P关于y轴的对称点P1的坐标是　，点P关于原点O的对称点P2的坐标是　　.解析：点P(3，2)关于y轴的对称点P1的坐标是(-3，2)，点P关于原点O的对称点P2的坐标是(-3，-2).答案：(-3，2)；(-3，-2).　11.(2分)已知一次函数y=kx+b(k、b为常数且k≠0)的图象经过点A(0，-2)和点B(1，0)，则k=　　，b=　　.解析：∵一次函数y=kx+b(k、b为常数且k≠0)的图象经过点A(0，-2)和点B(1，0)，∴，解得.答案：2，-2.　12.(2分)已知扇形的半径为6cm，圆心角为150°，则此扇形的弧长是　　cm，扇形的面积是　　cm2(结果保留π).解析：∵扇形的半径为6cm，圆心角为150°，∴此扇形的弧长是：l==5π(cm)，根据扇形的面积公式，得S扇==15π(cm2).答案：5π，15π.　13.(2分)函数y=中自变量x的取值范围是　　；若分式的值为0，则x=　　.解析：根据题意得，x-3≥0，解得x≥3；2x-3=0且x+1≠0，解得x=且x≠-1，所以，x=.答案：x≥3；.　14.(2分)我市某一周的每一天的最高气温统计如下表：则这组数据的中位数是　，众数是　.解析：将表格数据从小到大排列为：25，26，27，27，28，28，28， 中位数为：27；众数为：28.答案：27、28.　15.(2分)已知x=-1是关于x的方程2x2+ax-a2=0的一个根，则a=　　.解析：根据题意得：2-a-a2=0解得a=-2或1.答案：-2或1.　16.(2分)如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC=　　.解析：∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=∠BCD=90°，∵∠BAC=120°，∴∠CAD=120°-90°=30°，∴∠CBD=∠CAD=30°，又∵∠BAC=120°，∴∠BDC=180°-∠BAC=180°-120°=60°，∵AB=AC，∴∠ADB=∠ADC，∴∠ADB=∠BDC=×60°=30°，∵AD=6，∴在Rt△ABD中，BD=AD÷sin60°=6÷=4，在Rt△BCD中，DC=BD=×4=2.答案：2.　17.(2分)在平面直角坐标系xOy中，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，连接OA、OB，若OA⊥OB，OB=OA，则k=　　.解析：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，设点A的坐标为(a，)，点B的坐标为(b，)， ∵∠AOE+∠BOF=90°，∠OBF+∠BOF=90°，∴∠AOE=∠OBF，又∵∠BFO=∠OEA=90°，∴△OBF∽△AOE，∴==，即==，则=-b①，a=②，①×②可得：-2k=1，解得：k=-.答案：-.　三、解答题18.(8分)化简(1)(2).解析：(1)分别进行二次根式的化简、零指数幂的运算，代入特殊角的三角函数值即可得出答案.(2)先通分，然后再进行分子的加减运算，最后化简即可.答案：(1)原式=2-1+2×=2.(2)原式=-==.　19.(10分)解方程组和分式方程：(1)(2).解析：(1)利用代入消元法解方程组；(2)最简公分母为2(x-2)，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验.答案：(1)，由①得x=-2y③把③代入②，得3×(-2y)+4y=6，解得y=-3，把y=-3代入③，得x=6，所以，原方程组的解为；(2)去分母，得14=5(x-2)，解得x=4.8， 检验：当x=4.8时，2(x-2)≠0，所以，原方程的解为x=4.8.20.(7分)为保证中小学生每天锻炼一小时，某校开展了形式多样的体育活动项目，小明对某班同学参加锻炼的情况进行了统计，并绘制了下面的统计图(1)和图(2).(1)请根据所给信息在图(1)中将表示“乒乓球”项目的图形补充完整；(2)扇形统计图(2)中表示”足球”项目扇形的圆心角度数为　　.解析：(1)首先根据打篮球的人数是20人，占40%，求出总人数，再用总人数减去篮球、足球和其它人数得出乒乓球的人数，用各个爱好的人数除以总人数，即可得出所占的百分百，从而补全统计图；(2)用360°乘以足球所占的百分百，即可得出扇形的圆心角的度数.答案：(1)总人数是：20÷40%=50(人)，则打乒乓球的人数是：50-20-10-15=5(人).足球的人数所占的比例是：×100%=20%，打乒乓球的人数所占的比例是：×100%=10%；其它的人数所占的比例是：×100%=30%.补图如下：(2)根据题意得：360°×=72°，则扇形统计图(2)中表示”足球”项目扇形的圆心角度数为72°；故答案为：72°.　21.(8分)一只不透明的箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同. (1)从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？(2)从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图.解析：(1)根据概率的意义列式即可；(2)画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解.答案：(1)∵共有3个球，2个白球，∴随机摸出一个球是白球的概率为；(2)根据题意画出树状图如下：一共有6种等可能的情况，两次摸出的球都是白球的情况有2种，所以，P(两次摸出的球都是白球)==.22.(6分)如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE.求证：∠A=∠B.解析：根据中点定义求出AC=BC，然后利用“SSS”证明△ACD和△BCE全等，再根据全等三角形对应角相等证明即可.答案：∵C是AB的中点，∴AC=BC，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE(SSS)，∴∠A=∠B.　23.(7分)如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA.求证：四边形ABCD是菱形. 解析：根据平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，再利用菱形的判定得出.答案：∵∠B=60°，AB=AC，∴△ABC为等边三角形，∴AB=BC，∴∠ACB=60°，∠FAC=∠ACE=120°，∴∠BAD=∠BCD=120°，∴∠B=∠D=60°，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形.　24.(6分)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，点O为Rt△ABC内一点，连接A0、BO、CO，且∠AOC=∠COB=BOA=120°，按下列要求画图(保留画图痕迹)：以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B(得到A、O的对应点分别为点A′、O′)，并回答下列问题：∠ABC=　，∠A′BC=　　，OA+OB+OC=　　.解析：解直角三角形求出∠ABC=30°，然后过点B作BC的垂线，在截取A′B=AB，再以点A′为圆心，以AO为半径画弧，以点B为圆心，以BO为半径画弧，两弧相交于点O′，连接A′O′、BO′，即可得到△A′O′B；根据旋转角与∠ABC的度数，相加即可得到∠A′BC；根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB=2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO=OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′=∠BO′O=60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC=A′C.答案：∵∠C=90°，AC=1，BC=，∴tan∠ABC===，∴∠ABC=30°，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，∴△A′O′B如图所示； ∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，∴AB=2AC=2，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，∴A′B=AB=2，BO=BO′，A′O′=AO，∴△BOO′是等边三角形，∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°，∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°，∴C、O、A′、O′四点共线，在Rt△A′BC中，A′C===，∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C=.故答案为：30°；90°；.　25.(7分)某饮料厂以300千克的A种果汁和240千克的B种果汁为原料，配制生产甲、乙两种新型饮料，已知每千克甲种饮料含0.6千克A种果汁，含0.3千克B种果汁；每千克乙种饮料含0.2千克A种果汁，含0.4千克B种果汁.饮料厂计划生产甲、乙两种新型饮料共650千克，设该厂生产甲种饮料x(千克).(1)列出满足题意的关于x的不等式组，并求出x的取值范围；(2)已知该饮料厂的甲种饮料销售价是每1千克3元，乙种饮料销售价是每1千克4元，那么该饮料厂生产甲、乙两种饮料各多少千克，才能使得这批饮料销售总金额最大？解析：(1)表示出生产乙种饮料(650-x)千克，然后根据所需A种果汁和B种果汁的数量列出一元一次不等式组，求解即可得到x的取值范围；(2)根据销售总金额等于两种饮料的销售额的和列式整理，再根据一次函数的增减性求出最大销售额.答案：(1)设该厂生产甲种饮料x千克，则生产乙种饮料(650-x)千克，根据题意得，，由①得，x≤425，由②得，x≥200，所以，x的取值范围是200≤x≤425；(2)设这批饮料销售总金额为y元，根据题意得，y=3x+4(650-x)=3x+2600-4x=-x+2600，即y=-x+2600，∵k=-1＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x=200时，这批饮料销售总金额最大，则650-x=650-200=450.故该饮料厂生产甲种饮料200千克，乙种饮料450千克，才能使得这批饮料销售总金额最大.26.(6分)用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形.设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数和为a，内部的格点个数为b，则S=a+b-1(史称“皮克公式”).小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形： 根据图中提供的信息填表：则S与a、b之间的关系为S=　　(用含a、b的代数式表示).解析：根据8=8+2(1-1)，11=7+2(3-1)得到S=a+2(b-1).答案：填表如下：则S与a、b之间的关系为S=a+2(b-1)(用含a、b的代数式表示).　27.(9分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(6，0)，点B(0，6)，动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D(其中点C、O、D按逆时针方向排列)，连接AB.(1)当OC∥AB时，∠BOC的度数为　　；(2)连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值.(3)连接AD，当OC∥AD时， ①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由.解析：(1)根据点A和点B坐标易得△OAB为等腰直角三角形，则∠OBA=45°，由于OC∥AB，所以当C点在y轴左侧时，有∠BOC=∠OBA=45°；当C点在y轴右侧时，有∠BOC=180°+∠OBA=225°；(2)由△OAB为等腰直角三角形得AB=OA=6，根据三角形面积公式得到当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出OE，然后计算△ABC的面积；(3)①过C点作CF⊥x轴于F，易证Rt△OCF∽Rt△AOD，则=，即=，解得CF=，再利用勾股定理计算出OF=，则可得到C点坐标；②由于OC=3，OF=，所以∠COF=30°，则可得到BOC=60°，∠AOD=60°，然后根据“SAS”判断△BOC≌△AOD，所以∠BCO=∠ADO=90°，再根据切线的判定定理可确定直线BC为⊙O的切线.解答(1)∵点A(6，0)，点B(0，6)，∴OA=OB=6，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠OBA=45°，∵OC∥AB，∴当C点在y轴左侧时，∠BOC=∠OBA=45°；当C点在y轴右侧时，∠BOC=90°+∠OBA=135°；(2)∵△OAB为等腰直角三角形，∴AB=OA=6，∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，如图，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，∴OE=AB=3，∴CE=OC+OE=3+3，△ABC的面积=CE·AB=×(3+3)×6=9+18.∴当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大，最大值为9+18.(3)①如图，过C点作CF⊥x轴于F， ∵OC∥AD，∴∠COF=∠DAO，又∵∠ADO=∠CFO=90°∴Rt△OCF∽Rt△AOD，∴=，即=，解得CF=，在Rt△OCF中，OF==，∴C点坐标为(，)；故所求点C的坐标为(，).②当C点坐标为(-，)时，直线BC是⊙O的切线.理由如下：在Rt△OCF中，OC=3，CF=，∴∠COF=30°，∴∠OAD=30°，∴∠BOC=60°，∠AOD=60°，∵在△BOC和△AOD中，，∴△BOC≌△AOD(SAS)，∴∠BCO=∠ADO=90°，∴OC⊥BC，∴直线BC为⊙O的切线；当C点坐标为(-，)时，显然直线BC与⊙O相切.综上可得：C点坐标为(，)或(-，)时，显然直线BC与⊙O相切.28.(10分)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+2的图象与x轴交于A，与y轴交于点C，点B的坐标为(a，0)，(其中a＞0)，直线l过动点M(0，m)(0＜m＜2)，且与x轴平行，并与直线AC、BC分别相交于点D、E，P点在y轴上(P点异于C点)满足PE=CE，直线PD与x轴交于点Q，连接PA. (1)写出A、C两点的坐标；(2)当0＜m＜1时，若△PAQ是以P为顶点的倍边三角形(注：若△HNK满足HN=2HK，则称△HNK为以H为顶点的倍边三角形)，求出m的值；(3)当1＜m＜2时，是否存在实数m，使CD·AQ=PQ·DE？若能，求出m的值(用含a的代数式表示)；若不能，请说明理由.解析：(1)利用一次函数图象上点的坐标特征求解；(2)如答图1所示，解题关键是求出点P、点Q的坐标，然后利用PA=2PQ，列方程求解；(3)如答图2所示，利用相似三角形，将已知的比例式转化为：，据此列方程求出m的值.答案：(1)在直线解析式y=2x+2中，当y=0时，x=-1；当x=0时，y=2，∴A(-1，0)，C(0，2)；(2)当0＜m＜1时，依题意画出图形，如答图1所示.∵PE=CE，∴直线l是线段PC的垂直平分线，∴MC=MP，又C(0，2)，M(0，m)，∴P(0，2m-2)；直线l与y=2x+2交于点D，令y=m，则x=，∴D(，m)，设直线DP的解析式为y=kx+b，则有，解得：k=-2，b=2m-2， ∴直线DP的解析式为：y=-2x+2m-2.令y=0，得x=m-1，∴Q(m-1，0).已知△PAQ是以P为顶点的倍边三角形，由图可知，PA=2PQ，∴，即，整理得：(m-1)2=，解得：m=(＞1，不合题意，舍去)或m=，∴m=.(3)当1＜m＜2时，假设存在实数m，使CD·AQ=PQ·DE.依题意画出图形，如答图2所示.由(2)可知，OQ=m-1，OP=2m-2，由勾股定理得：PQ=(m-1)；∵A(-1，0)，Q(m-1，0)，B(a，0)，∴AQ=m，AB=a+1；∵OA=1，OC=2，由勾股定理得：CA=.∵直线l∥x轴，∴△CDE∽△CAB，∴；又∵CD·AQ=PQ·DE，∴，∴，即，解得：m=.∵1＜m＜2，∴当0＜a≤1时，m≥2，m不存在；当a＞1时，m=.∴当1＜m＜2时，若a＞1，则存在实数m=，使CD·AQ=PQ·DE；若0＜a≤1，则m不存在.