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1、培养“以形助数”思想意识开拓数学解题视野福建省诏安第一中学许伟湘363500摘要：本文通过对典型实例的分析，全面系统地讨论了数形结合在中学数学解题中的应用关键词：几何意义代数计算数形结合一、利用数形结合的方法，构造两点间的距离求最值问题平面上两点P（x，y）、A（a，b）间的距离公式为。因此关于x，y的二次式的最值问题可转化为求两点间距离的最值问题。例1.求函数的最小值。解：其几何意义是点P（x，0）到点（1，2）与点（2，3）的距离之和的最小值。因为点A（1，2）关于x轴的对称点为A‘（1，2），且故（即）图1
2、例2.求函数的最大值。分析：由于的解析式中含有两个根号，根号内部都是x的二次式，以中学的代数方法很难出它的最大值，但如果巧妙用两点的距离公式的方法，问题就简单了。解：设，那么求函数表达式在轴上的动点P到定点A的距离减去P到B的距离。这时，点A，B，P为顶点，组成，如图，图2根据三角形两边之差小于第三边，那么当P位于AB和x轴的交点C的位置时，最大，故最大值二、利用数形结合的方法，构成直线斜率问题解题过A（），B（）（），两点的直线斜率是，因此涉及此类的比值的问题，可以考虑转化为直线斜率来解题。例3.求函数的最大值
3、和最小值。分析：单纯从代数角度考虑，当使的解析式的分子取最大（小）值时，分母并不是最小（大）值，所以利用和的有界性，难以求得的最大（小）值，若，B（2，2），就是AB的斜率，而在单位圆上，这样就很容易求解。解：令为单位圆上的点与定点P连线的斜率。设经过点P（2，2），斜率为k的直线l：与圆相切，切点为和。则函数最值转化为斜率的最值。因为圆心O到直线的距离为1，即，化简得，解得，故，图3例4.已知x，y，且满足，求的最大值和最小值。解：是过原点与动点（x，y）的直线斜率，显然当直线与圆相切时，取得最值。设直线方程为
4、。由点到直线距离公式得，即，解之得：图4斜率型问题的一般形式：已知点为曲线上的一点，求的最值，除此之外，一些比值问题也可以转化为斜率型问题求解。三、利用数形结合的方法，解决数列问题利用数列的一些相关性质，往往可以把数列问题构造为一次函数来解题。例5.设等比数列的前n项和为，若，求公比。分析：若是公比的等比数列的前n项和，则点（）（n=1，2，）在同一直线上。解:根据题意知，由于分析知点（）、（）、（）共线。即由已知，，代人()式得：，四、利用数形结合的方法，解决方程的根（函数的零点）的个数问题例6.已知函数.(1
5、)若g(x)=m有零点,求m的取值范围;(2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.分析：函数零点个数的判断方法:(1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求解,则有几个解就有几个零点;(2)零点存在性定理:利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性等)才能确定函数有多少个零点;(3)利用图象交点的个数:画出两个函数的图象,看其交点的个数,有几个交点就有几个不同的零点.解:(1)法一:∵,等号成立的条件是,故的
6、值域是[2e,+∞),因而只需,则g(x)=m就有零点.即m的取值范围为[2e,+∞).图5图6法二:作出的大致图象如图:可知若使有零点,则只需.即m的取值范围为[2e,+∞).(2)若有两个相异的实根,即与的图象有两个不同的交点,∵。∴其图象的对称轴为,开口向下,最大值为.故当,即时,与有两个交点,即有两个相异实根.∴m的取值范围是。五、利用数形结合的方法，研究方程、曲线、函数、不等式中参数问题诸多的关于方程或不等式的问题，常转化为方程与不等式的函数图像关系来解决。例7.设二次方程的两根满足：，求a的取值范围。
7、分析：构造二次函数，根据二次方程的两根取值范围，来确定抛物线与x轴的交点的横坐标的变化区域及纵坐标的情况。解：设做出此函数的大致图像（如图）。，所以,即图1解此不等式组得：。例8.求函数的最值。解：分别做出函数（如图1）和（如图2）的图像，图2二者叠加得图3，图3即是的图像，由图3，知.图3需要特别注意的是，应用图像分析法，除了要对基础知识深刻理解外，还应该对图像及其变化趋势有准确的把握。否则出现错误就在所难免。六.利用数形结合的方法，构造立体图形解题有些代数问题，其几何意义不是一眼就看出来的，则需要灵活运用已学
8、过的数学知识，进行适当的变形和巧妙构想，使这个代数表达式具有几何意义。例8已知正实数a、b、c、d满足，试证：分析：由已知容易联系到长方体的对角线定理，不妨构造一个三边分别为a、b、c的长方体，则对角线长为d。根据三角形两边之和大于第三边的结论，命题就可得证。在数形结合教学中，通过各种例子，培养学生思维的灵活性，不断地提高巧妙的运用数形结合知识。同时也告诉学生，所有的“形
