等腰三角形性质：三线合一”专题

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1、WORD文档可编辑等腰三角形性质：三线合一”专题等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。这就是著名的等腰三角形“三线台一”性质。“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。【例题讲解】例1．如图所示，在等腰△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上。求证：BE=CE。变式练习1-1如图，在△ABC中，AB=AC，D是形外一点，且BD=CD。求证：A

2、D垂直平分BC。变式练习1-2已知，如图所示，AD是△ABC，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。求证：AD垂直平分EF。ABBCED例二：如图△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，若CD＝4，且△BDC周长为24，求AE的长度。技术资料专业分享WORD文档可编辑例三.等腰三角形顶角为，一腰上的高与底边所夹的角是，则与的关系式为=___________。图1分析：如图1，AB=AC，BD⊥AC于D，作底边BC上的高AE，E为垂足，则可知∠EAC=∠EAB，又∠，所以。例四.已知

3、：如图2，△ABC中，AB=AC，CE⊥AE于E，，E在△ABC外，求证：∠ACE=∠B。图2分析：欲证∠ACE=∠B，由于AC=AB，因此只需构造一个与Rt△ACE全等的三角形，即做底边BC上的高即可。证明：作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴又∵，∴BD=CE。在Rt△ABD和Rt△ACE中，AB＝AC，BD=CE，∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL）。∴∠ACE=∠B例五.已知：如图3，等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC延长线一点，CE=CD，DM⊥BC于M，求证：M是BE的中点。技术资料专业分享W

4、ORD文档可编辑图3分析：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，因此只需证DB=DE，即证∠DBE=∠E，根据等边△ABC，BD是中线，可知∠DBC=30°，因此只需证∠E=30°。证明：联结BD，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°∵CD=CE，∴∠CDE=∠E=30°∵BD是AC边上中线，∴BD平分∠ABC，即∠DBC=30°∴∠DBE=∠E。∴DB=DE又∵DM⊥BE，∴DM是BE边上的中线，即M是BE的中点。巩固练习一：1、已知的周长为，且，又，D为垂足，的周长为，那么AD的长为（）A．B.C

5、.D.2、如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=30，AD=AE，则∠EDC=（） 第4题图ABDEC 第2题图DABCEF第3题图A．10B.12.5C.15D.203、如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则图中全等三角形共有（　　　）A、2对　B、3对　C、4对　D、5对4、如图，在等腰直角△ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E、F，连结EF与AD相交于G，则∠AED与∠AGF的关系为()A．∠AED>∠AGFB．∠AED＝

6、∠AGFC．∠AED<∠AGFD．不能确定5、如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，且BD=BE，∠A=84°，则∠DEC=CABDEADCBEAAA 第7题图BAEDFC 第5题图 第6题图6、如图，CE平分∠ACB，且CE⊥BD，DA=DB，又知AC=18，△CDB的周长为28，那么BE的长为。技术资料专业分享WORD文档可编辑7、如图，在等腰△ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，则△ABC的面积为8、、如图，四边形ABCD

7、中，对角线AC与BD相交于E点，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAB；④△ABE是等边三角形．请写出正确结论的序号．(把你认为正确结论的序号都填上)9、已知：如图2，△ABC中，AB=AC，CE⊥AE于E，，E在△ABC外，求证：∠ACE=∠B。10、如图△ABC中，AB=ACD为AC上任意一点，延长BA到E使得AE=AD连接DE，求证DE⊥BC11、已知：如图１，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是ＢＣ上一点，Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＡＣ上的点，且ＢＤ＝

8、ＣＦ，ＣＤ＝ＢＥ，Ｇ为ＥＦ的中点，求证：ＤＧ⊥ＥＦ．12、如图，以△ABC的边AB，AC为边分别向形外作正方形ABDE和ACFG，DM、FN分别垂直直线BC于M、N.若DM=FN,求证：∠ABC=∠ACB技术资料专业分享WORD文档可编辑【巩固练习二】1、等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是________。2、在△ABC中，已知AB＝AC，AD是中