高考中常见的三角函数型的最值问题及其解法

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1、DBFQDFDFZHUOYUE常见的三角函数型函数的最值问题及其解法三角函数型函数的最值（或值域）问题除了可以按照一般函数的最值（或值域）问题来考虑外，还要紧密结合三角函数自身性质，综合考虑，因此，掌握好解决三角函数型函数的最值（或值域）问题的各种基本方法，才能从容应对，以不变应万变。本文仅讨论最值问题，所有讨论对求值域问题同样适用.基本型1：方法：直接利用三角函数的有界性和单调性来求解.例1：求的最大值，其中均为常数.解析：因为自变量的范围没有任何限制，因此由正弦函数的有界性得到，并且注意到，所以

2、当时，函数取得最大值为。点评：本题中的自变量没有任何范围限制，比较简单。而高考中往往对自变量有一定的范围限制，所以在平时的练习时，一定要注意自变量的范围.例如在本例题中将的范围限定成，此时首先根据函数的单调性得出，然后再求出函数的最值.基本型2：方法：利用，将基本型2转化为基本型1来处理，即转化为一个三角函数名.例2：求的最大值。解析：，其中，.由于自变量的范围没有任何限制，所以.从而原函数的最大值为.点评：（1）这种基本型非常重要，在高考考题中出现的频率较高.（2）当自变量有范围限制时，我们在转化

3、时往往是可以根据三角函数的值求出的，我们一般选择为上的角即可.基本型3：5四川特产WWW.128TC.COM/LIST_24.HTML输血反应WWW.SHUXUEJISHU.COM葡*京*娱*乐*场PUJINGYULECHANG.MEDBFQDFDFZHUOYUE方法：利用倍角公式：，将它转化为基本型2.例3：求函数的最大值.解析：由，因此函数的最大值为.小结：上面的基本型1，2，3的思想就是将待求的函数转化为只含有一个三角函数名的形式，利用三角函数的有界性和单调性来处理三角函数型函数的最值问题.基

4、本型4：方法：利用换元法，将函数转化为二次函数，然后利用二次函数在给定的区间上问题处理求最值.例4：求函数的最值.解析：令，则，并且有：。问题转化为对二次函数（），求函数的最值问题。利用二次函数的单调性就可以得到：.点评：（1）利用换元法时，要立即写出新元的范围.（2）对于，利用，可以立刻转化为基本型4.基本型5：方法：令，平方后得到用表示的表达式，此时就可以将原问题转化为二次函数求最值问题.例5：求的最小值.解析：令，则由基本型2可以求得，并且有.问题转化为求二次函数的最小值问题，根据二次函数的知

5、识，容易求得.小结：5四川特产WWW.128TC.COM/LIST_24.HTML输血反应WWW.SHUXUEJISHU.COM葡*京*娱*乐*场PUJINGYULECHANG.MEDBFQDFDFZHUOYUE上面的基本型4，5的思想就是利用换元法将原函数的函数转化为新元的二次函数，然后利用二次函数求最值的知识来解题.基本型6：方法：利用换元法将原函数转化成型的分式函数求最值问题.例6：求函数的最值.解析：令，则，并且有。因此原问题就转化为求函数（）的最值问题.由，利用单调性立刻可知，即有，因此，

6、从而得到.点评：（1）在中，若，则问题转化为基本型1；若，则利用换元法，问题就转化为求型函数值域的问题，比较简单.（2）对于特殊的分式函数求值域问题，我们应熟练掌握。同时像基本型6，再如，，等，我们都可以利用换元法将上述函数转化为型的分式函数来处理.（3）若要求函数的最值问题，我们仍然可以利用换元法，将它转化为型的分式函数求最值问题.小结：上面的基本型6的思想就是利用换元法将原函数的函数转化为新元的分式函数，然后利用分式函数求最值的知识来解题.基本型7：方法：将函数写成，然后利用斜率公式来求解.例7

7、：求的最值.5四川特产WWW.128TC.COM/LIST_24.HTML输血反应WWW.SHUXUEJISHU.COM葡*京*娱*乐*场PUJINGYULECHANG.MEDBFQDFDFZHUOYUE解析：，令，则表示点和点的斜率，而点在单位圆上，过点作单位圆的两条切线，可知，因此得到.小结：转化为斜率这样一个几何量，利用几何意义来求最值.基本型8：利用导数来求三角函数型函数的最值例8：某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理

8、三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm.（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式；BCDAOP（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短.解析：（1）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ(rad)，则，故又，所以