大同中学2016学年高三上期中数学试卷

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1、大同中学2016学年高三上期中数学试卷一、填空题（4’×14＝56’）1．已知集合，，则　　　　　．2．已知复数满足（为虚数单位），则复数　　　　　．3．已知，则　　　　　．4．方程的解为　　　　　．5．已知圆心角是2弧度的扇形面积为，则扇形的周长为　　　　　．6．已知无穷等比数列的前项和，且是常数，则此无穷等比数列的各项和为　　　　　．（用数值作答）7．若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则此球的体积为　　　　　．（结果保留）8、某同学从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选择三个学科参加测试，则物理和化学不同时被选中的概率为　　　　　．

2、PADCMB9、如图，平行四边形的两条对角线相交于点，点是的中点．若，，且，则．10、已知，，则的通项公式为．11、已知且，设函数的最大值为1，则实数的取值范围是．12、函数的部分图象如图所示，则的解析式为．13、设函数由方程确定，下列结论正确的是．（请将你认为正确的序号都填上）（1）是上的单调递减函数；第8页共8页（2）对于任意，恒成立；（3）对于任意，关于的方程都有解；（4）存在反函数，且对于任意，总有成立．14、已知函数，若存在实数满足，且，则的取值范围是．二、选择题（5’×4＝20’）15、下面四个条件中，使成立的充分而不必要条件是（）A．B

3、．C．D．16、设的内角所对的边分别为，若，则的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定17、已知圆上到直线的距离等于1的点恰有3个，则实数的值为（）A．或B．C．D．或18、如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别是,．动点从点出发沿着圆弧按的路线运动（其中五点共线），记点运动路程为，设关于的函数关系为，则的大致图象是（）第8页共8页三、解答题（12’+14’+14’+16’+18’=74’）19、如图所示，使用纸板可以折叠粘贴制作一个形状为正六棱柱形状的花型锁盒盖的纸盒．（1）求该纸盒的容积

4、；（2）如果有一张长为，宽为的矩形纸板，则利用这张纸板最多可以制作多少个这样的纸盒．（纸盒必须用一张纸板制成）20、已知函数．（1）求函数的最大值，并写出取最大值时的取值集合；（2）若，求的值．21、已知函数，其中常数，（1）当时，的最小值；（2）当时，是否存在实数，使得不等式对任意恒成立？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由．第8页共8页22、已知两动圆和（），把它们的公共点的轨迹记为曲线，若曲线与轴的正半轴的交点为，且曲线上的相异两点满足：．（1）求曲线的方程；（2）证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐标；（3）求面积的最大值．2

5、3、已知数列中，，，的前项和为，且满足（）．（1）试求数列的通项公式；（2）令，是数列的前项和，证明：；（3）证明：对任意给定的，均存在，使得当时，（2）中的恒成立．第8页共8页参考答案一、填空题1．2．3．4．5．6．7．8、9、10、11、12、13、（1）（2）（3）（4）14、二、选择题15、D16、A17、C18、A三、解答题19、解：（1）；（2）23个20、解：（1）当时，取得最大值函数取最大值时的取值集合为；（2）．21、解：（1），当且仅当时“”成立（3）当时，，，，所以在同理：在。，所以，，易得：最大值为2所以，或，所以第8页共8

6、页22、（1）设两动圆的公共点为，则有：．由椭圆的定义可知的轨迹为椭圆，．所以曲线的方程是：．…4分（2）证法一：由题意可知：，设，，当的斜率不存在时，易知满足条件的直线为：过定点………………………6分当的斜率存在时，设直线：，联立方程组：，把②代入①有：……………8分③，④，因为，所以有，，把③④代入整理：，（有公因式m-1）继续化简得：，或（舍），综合斜率不存在的情况，直线恒过定点．………………………10分证法二：（先猜后证）由题意可知：，设，，如果直线恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在轴上，设为；取特殊直线，则直线的方程为，解方程组得点

7、，同理得点，此时直线恒经过轴上的点（只要猜出定点的坐标给2分）……2分第8页共8页下边证明点满足条件当的斜率不存在时，直线方程为：，点的坐标为，满足条件；………………………8分当的斜率存在时，设直线：，联立方程组：，把②代入①得：③，④，所以………………………10分（3）面积==由第（2）小题的③④代入，整理得：……………………………12分因在椭圆内部，所以，可设，……………………………14分，(时取到最大值)．所以面积的最大值为．…………………………………………16分23、（1）由（），得（），所以（），即（）……………………（2分）又，所以．……

8、………………（4分）第8页共8页（2），………………（2分）所以，．……………………………………………………