优化思维过程简化繁杂分类

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1、优化思维过程简化繁杂分类　　有些高考数学的命题，因题设的条件多且交叉制约，若从整体上出发考查，难以找到解题的途径，或其解题的过程根本不能统一叙述时，可考虑化整为零，逐一论之，各个击破，再积零为整（分类讨论）.也就是说将整体划分为若干个局部，进而将这一数学问题化成几个小问题，如果能在解题前注意优化思维过程，适当作一点“技术处理”，简化或避免分类，往往能给解题带来事半功倍之效.本文结合近几年高考数学压轴题为例，谈谈如何优化思维过程，简化繁杂分类.现抛砖引玉如下，供大家参考.　　一、整体把握，化繁为简　　例1（2011年高考江苏卷第19题）已知a，b是实数，函数fx=x3+ax，gx=　　x2+

2、bx，f′（x）和g′（x）是f（x），g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致.　　（1）设a>0，若函数f（x）和g（x）在区间[-1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；　　（2）设a<0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求

3、a-b

4、的最大值.　　分析本题中由于a，b为端点的开区间的端点位置不确定，若分类讨论进行求解，则显得非常繁琐，若能巧妙利用好f′（x）g′（x）≥0在区间恒成立这一条件，将其转化为研究导函数hx在该区间上的增减性的充要条件，就能有效地避免极为复杂的分类讨论

5、.　　解（1）b≥2（过程略）　　（2）因函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，所以f′（x）g′（x）≥0在区间I上恒成立，这里I=a，b或者I=b，a.　　令hx=f′xg′x=6x3+3bx2+2ax+ab，则h′x=18x2+6bx+2a.因a0.若b>0，由a<0知此时I=a，b，h0=ab<0，而0∈a，b，这与hx≥0在a，b上恒成立相矛盾，故b≤0.所以开区间I应在x2的左侧，在I内hx的单调性要么递增，要么递减，要么先增后减.从整体上看，不管哪种情形，只需ha≥0且hb≥0即可.由ha≥0且hb≥0，并结合a<0、b≤0解得-13≤a<0、-13≤b

6、<0，所以a-b≤13.故a-b的最大值为13.　　评注本题由于区间端点不确定，通常需要分三类进行讨论、由于题目中涉及的字母较多，无形之中增加了计算量，本题解法和官方解法相比，构思巧妙，解答流畅，从整体上把握问题，有效地避免了繁杂的分类.　　二、巧设直线，方程助力　　例2（2009年高考全国Ⅱ卷（文）第22题）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为33，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点.当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为22.　　（1）求a、b的值；　　（2）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OP=OA+OB成立？若存在，　　求出所有的P的坐标与l

7、的方程；若不存在，说明理由.　　分析第（1）问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算即可，比较简单，第（2）问若能抓住直线的斜率不可能为零，巧设直线方程为x=my+n，借助根与系数关系可以简化或避免讨论，大大减少计算量，提高解题速度.　　解（1）a=3，b=2（过程略）　　（2）设A、B坐标分别为x1，y1，x2，y2.注意到直线过x轴上的点F1，0，故设直线的方程为x=my+1，代入椭圆方程中化简，得2m2+3y2+4my-4=0，因Δ>0恒成立，所以y1+y2=-4m2m2+3，y1y2=-42m2+3.　　假设符合条件的P点存在，则Px1+x2，y1+y2在椭圆2x2+3y

8、2=6上.　　代入整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6.　　因Ax1，y1，Bx2，y2也在椭圆上，　　故2x1x2+3y1y2+3=0，　　即2my1+1my2+1+3y1y2+3=0，　　整理得　　2m2+3y1y2+2my1+y2+5=0.将y1y2、y1+y2的值代入，　　解得m=±22.??m=22时，y1+y2=-22，x1+x2=my1+y2+2=32，得P32，-22，　　直线l的方程为2x-y-2=0.　　当m=-22时，得P32，22，直线l的方程为2x+y-2=0.　　评注当直线过一点时，设直线方程时很容易利用点斜式或斜截式进行，而

9、忽略斜率不存在的情况或是运算较繁，需要分类讨论.如果知道直线的斜率不可能为零，可将直线方程设为x=my+n，这样，不仅避免或简化了讨论的步骤，且可以大大减少计算量，提高解题速度.　　三、变换主元，定辅略主　　例3（2008年高考安徽卷（文）第20题）设函数fx=a3x3-32x2+a+1x+1，　　其中a为实数.　　（1）已知函数fx在x=1处取得极值，求a的值；　　（2）已知不等式f′x>x2-x-a+1对任意的a∈0