由“数”到“式”, 举一反三

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1、由“数”到“式”,举一反三摘要：本文以大家熟知的整数性质来解有关整式的问题，通过比较和分析来探讨竞赛数学中的数学方法和数学思想对中学数学教学的影响和作用.数学教育要教会学生利用所学的知识、技能、思维方法来解决其他问题，学会举一反三，由此及彼，让学生体会数学的魅力和美感。从而使学生获得智力、能力等多方面的提高.　　关键词：整数因式分解竞赛数学数学教育　　　　享有“数学王子”美誉的德国著名数学家高斯曾说：“数学是科学的女皇；数论是数学的女皇.”人类最早认识的数是整数，每个人最先学习的也是整数.整数是数学的基础，数学中所有的研究都离不开整数.整数研究中提出的问题，促进了数学学科中很多重要分支的产

2、生和发展.以整数为研究对象的有关初等数论题目更是各种数学竞赛中的常客.现在，初等数论已经走进中小学课堂，由著名数学家、教育家张景中院士主编的湘教版普通高中课程标准实验教科书选修系列中就有《初等数论初步》.人教版八年级数学上册第十五章的内容为“整式的乘除与因式分解”，在教学实践中遇到一些题目，学生普遍感到棘手，而用竞赛数学中有关整数的性质去解题，简单快捷，有异曲同工之妙.　　【例1】已知多项式2x-xm有一个因式是2x1，求m的值.　　【解法一】分析：由于整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m的值.　　解：根据已知条件，设2x-xm=（2x1）（xaxb）

3、　　则2x-xm=2x（2a1）x（a2b）xb　　由此可得2a1=-1（1）a2b=0（2）m=b（3）　　由（1）得a=-1.把a=-1代入（2），得b=.把b=代入（3），得m=.　　【解法二】分析：由2x-xm=（2x1）（xaxb）想到多项式的乘除和整数的乘除是一样的.若整数a，b，c满足a=bc，易知若b，c有一个为0，则a必为0.那么当2x1为0时，2x-xm必为零，从而问题迎刃而解.　　解：当因式2x1=0时，原多项式2x-xm=0.即当x=-时，2×---m=0，解得m=.　　【评注】解法一运用多项式的乘法和待定系数法，忠实于教材内容的运用，但与解法二相比就显得繁琐.解法

4、二从整数的乘除来看整式的乘除，学生容易理解，且简单快捷，可以很好地激发学生的求知欲.　　【例2】已知：xbxc（b，c为整数）是x6x25及3x4x28x5的公因式，求b，c的值.　　【解法一】分析:分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求出b、c.　　解:x6x25=（x）10x25-4x=（x5）-（2x）=（x2x5）（x-2x5）　　若将多项式3x4x28x5直接因式分解比较困难，我们由已知条件知道公因式xbxc必为x2x5和x-2x5中的一个.则我们可以分别设　　3x4x28x5=（x2x5）（3xmx1）　　或者　　3x4x28x5=（x-2x5）（3xnx1）　　通过待定系

5、数法比较系数可知m不存在，n=6，即　　3x4x28x5=（x-2x5）（3x6x1）　　则xbxc=x-2x5　　所以b=-2，c-5.　　【解法二】分析:数的整除性有两条基本的性质:　　（1）若c

6、a，c

7、b，则c

8、（a±b）;（2）若b

9、a，n为整数，则b

10、na.　　类似地，xbxc是x6x25的因式，那xbxc也是3（x6x25）的因式，从而xbxc也是3（x6x25）与3x4x28x5差的因式，所求问题及转化为简单的求两个多项式的差的二次因式.　　解：由于xbxc是3（x6x25）及3x4x28x5的公因式，因而也是多项式3（x6x25）-（3x4x28x5）的二次因式.　　3（

11、x6x25）-（3x4x28x5）=14（x-2x5）.　　因为b，c为整数得：xbxc=x-2x5，则b=-2，c=5.　　【评注】解法一需要对两个多项式进行分解因式，然后得出公因式.第一个多项式分解因式需要对教材中的完全平方公式和平方差公式了然于胸，然后进行适当的拆项，而添项和拆项是因式分解中的难点.而第二个多项式直接分解因式对大部分学生来说都很困难，可通过待定系数法比较系数得出.解法二对整数整除的两个基本性质进行演绎推理后，转化为简单的多项式加减，从而简便地求出公因式，进而求出答案.解法二化繁为简，化难为易，运用的知识简单易懂，让学生体会到知识的连续性和学习数学的乐趣.　　【例3】设

12、整数a，b，c为三角形的三边长，满足abc-ab-ac-bc=13，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.　　解:不妨设a≥b≥c，由已知等式可得　　（a-b）（b-c）（a-c）=26①　　令a-b=m，b-c=n，则a-c=mn，其中m，n均为自然数.　　于是，等式①变为mn（mn）=26，即　　mnmn=13②　　由于m，n均为自然数，判断易知，使得等式②成立的m，n只有两组：　　m=