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1、函数的奇偶性甘肃省文县第一中学张永明一、现实生活中的“美”的事例下面请欣赏曹家大院某院晋祠鼓楼晋祠硕亭太谷民居门墩石狮子二、函数图象的“美”xyOxyOf(x)=x2f(x)=
2、x
3、x…-2-1012…y…41014…x…-2-1012…y…21012…问题：1、对定义域中的每一个x，-x是否也在其定义域内？2、f(x)与f(-x)的值有什么关系？3、图象对称性如何？函数y=f(x)的图象关于y轴对称1、对定义域中的每一个x，-x是也在其定义域内；2、都有f(-x)=f(x)三、偶函数的定义函数f(x)的定义域为A，如果对任意的x∈A，都有f(-x)=
4、f(x)，那么称函数y=f(x)是偶函数。偶函数定义的理解下列说法是否正确，为什么？（1）若f(－1)=f(1)，则函数f(x)是偶函数．（2）若f(－1)≠f(1)，则函数f(x)不是偶函数．观察下面两个函数图象及数量关系-30xy123-1-2-1123-2-30xy123-1-2-1123-2-3f(x)=x3210-1-2-3-1x-3-20123f(-3)=-3=0xy123-1-2-1123-2-3……f(-x)-f(x)f(x)=xf(-1)=-1f(-2)=-2=x-x表（3）-f(1)=-f(2)-f(3)=f(x)=x0xy123-
5、1-2-1123-2-3f(-3)==-f(3)f(-1)=-1=-f(1)f(-2)==-f(2)……f(-x)=-f(x)13210-2-3x-1-1表（4）函数y=f(x)的图象关于原点对称1、对定义域中的每一个x，-x是也在定义域内；2、都有f(-x)=-f(x)四、奇函数的定义函数f(x)的定义域为A，如果对任意一个x∈A，都有f(-x)=-f(x)，那么称函数f(x)是奇函数。几点说明：1、偶（奇）函数的实质就是自变量x变为相反数-x时，函数值不变（也变为相反数）。根据函数的奇偶性，函数可划分为四类（偶函数、奇函数、既奇又偶函数、非奇非偶函
6、数）非奇非偶函数0xy123-1-2-1123-2-3如：y=3x+1y=x2+2x0xy123-1-2-1123-2-3既是奇函数又是偶函数的函数0xy123-1-2-1123-2-3如：y=02、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)成立.若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)成立.,是偶函数吗？问题：0x123-1-2-3123456y不是。3、奇、偶函数图象及性质：性质：偶函数的定义域关于原点对称解：由定义可知，如果一个函数是偶函数,则它的图象关于y轴对称。yxoy=x2偶函数的图像特征反过来，如果一个
7、函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数。xoy=x2例：性质：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。偶函数图象及其性质：定义域关于原点对称；图象关于y轴对称；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。你能类比说出奇函数的图象及其性质吗？yxy=x30奇函数图象及其性质：定义域关于原点对称；图象关于原点对称；奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同。判定函数奇偶性基本方法:①定义法:先看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.②图象法:看图象是否关于原点或y轴对称.如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性
8、.五、应用:例1判断下列函数的奇偶性（你能口答吗？）1.y=-x2+3,x∈R;2.f(x)=-x｜x｜;3.y=-2x+5;4.f(x)=x2,x∈{-2,-1,0,1,3};5.y=0,x∈[-2,2];是偶函数是奇函数不是奇函数也不是偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数亦奇亦偶函数既是奇函数也是偶函数小组合作探究：已知y=f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2+x+1，求函数的表达式。练习：判断下列函数的奇偶性(1)解：定义域为R∵f(-x)=(-x)4=f(x)即f(-x)=f(x)∴f(x)偶函数(2)解：定义域为Rf(-x)=(-x)
9、5=-x5=-f(x)即f(-x)=-f(x)∴f(x)奇函数(3)解：定义域为{x
10、x≠0}∵f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x)即f(-x)=-f(x)∴f(x)奇函数(4)解：定义域为{x
11、x≠0}∵f(-x)=1/(-x)2=f(x)即f(-x)=f(x)∴f(x)偶函数六、课时小结，知识建构奇偶性奇函数偶函数定义设函数y=f(x)的定义域为D，任意x属于D,都有-x属于D。f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)图像性质关于原点对称关于y轴对称判断步骤定义域是否关于原点对称。f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)判断或证明函数奇偶
12、性的基本步骤：一看——二找——三判断。注意：若可以作出函数图象的，直接观察图象是否关于y轴对称
