1.2.2同角三角函数的基本关系

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1、1.2.2同角三角函数的基本关系七中高中数学组张亚伟教学目的：1、能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式；2、掌握三种基本关系式之间的联系；3、熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法；4、根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明。教学重点、难点：重点：三角函数基本关系式的推导、记忆及应用。难点：如何运用公式对三角式进行化简和证明。知识复习回顾三角函数的定义.三角函数的定义有何联系？在直角三角形OMP中由勾股定理很容易得到：由正切函数定义很容易得到：yxaP(x,y)OA(

2、1,0)M同角三角函数的基本关系平方关系:商数关系:同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切.1、同角的理解：2、是的简写形式，与不同。3、公式可以变形使用，同时注意公式的正用、逆用。“同角”二层含义:一是”角相同”,二是”任意”一个角.对于上述两个公式，你觉得怎样理解？知识探究：基本变形思考1：对于平方关系可作哪些变形？思考2：对于商数关系可作哪些变形？思考3：结合平方关系和商数关系，可得到哪些新的恒等式？问题:是否存在同时满足下列三个条件的角?不存在归纳探索基本关系yxO同角公式典

3、型例题类型一：求值例1．（1）已知，并且是第二象限角，求（2）已知，求又∵是第二象限角，∴，即有从而解：（1）∵∴（2）∵∴又∵∴在第二或三象限角。当在第二象限时，即有，从而当在第四象限时，即有，从而P19例6已知，求的值。解：（1）当时（2）当时分类讨论练习P20练习1P20练习2分类讨论1.已知,求的值.2.已知,求的值.例2．已知为非零实数，用表示解：∵∴，即有又∵为非零实数，∴为象限角。当在第一、四象限时，即有，从而当在第二、三象限时，即有，从而已知，求的值。解：（1）当时不妨设x=4，

4、y=3（2）当时不妨设x=-4，y=-3分类讨论变式训练：练习P20练习2分类讨论思考：例6能否用这种方法？同角关系式的应用（1）求值P22B3解：分子分母同时除以cosα得：练习注意：“1”的灵活代换，特别是关于sina、cosa齐次式例3．化简解：原式例4．化简解：原式同角关系式的应用（2）化简例求证思考恒等式证明常用方法?基本思路:由繁到简可以从左边往右边证，可以从右边往左边证，也可以证明等价式。p19例5．求证：证明：因此作差法同角关系式的应用（3）证明恒等式比较法证法二：因为因此由原题

5、知：恒等变形的条件分析法证法三：由原题知：则原式左边==右边因此恒等变形的条件练习2.求证1.化简例6．已知，求解：由等式两边平方：∴（*），即可看作方程的两个根，解得又∵，∴．又由（*）式知因此，构造方程组的方法●补充练习aaaaaaaacossinsincoscossin)sin(costanxxtanxsinxcosxcosxsin:.+-+=++-+-=--1112211211222）（）（证明关于sina,cosa的齐次式，求值时分子、分母同除以cosa的最高次，方便利用tana值代入

6、计算。=+-=+-=--=132353427532123222aaaaaaaaaaaacossincoscoscossinsin)(cossincossin,tan.）（）（则已知要注意sina+cosa,sinacosa,sina-cosa三个量之间有联系：(sina+cosa)2=1+2sinacosa;(sina+cosa)2=1+2sinacosa知“一”求“二”注意分类讨论是以cosa的正负为依据进行的。小结：1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个角而言的，由此可以派生出许多变形公式

7、，应用中具有灵活、多变的特点.2.利用平方关系求值时往往要进行开方运算，因此要根据角所在的象限确定三角函数值符号，必要时应就角所在象限进行分类讨论．3.化简、求值、证明，是三角变换的三个基本问题，具有一定的技巧性，需要加强训练，不断总结、提高.注意：1．同角三角函数基本关系式及成立的条件；2．根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；3．在以上的题型中：先确定角的终边位置，再根据关系式求值。如已知正弦或余弦，则先用平方关系，再用其它关系求值；若已知正切或余切，则可构造方程组来求值。4．运用同

8、角三角函数关系式化简、证明。常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等。P21习题A组第10、11、12题P22习题B组第2、3题课后作业：