第3课二次函数的实际应用(利润最值问题)(教师)

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1、word资料下载可编辑第3课时二次函数的实际应用——最大(小)值问题知识要点:二次函数的一般式()化成顶点式,如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值).即当时,函数有最小值,并且当,;当时,函数有最大值,并且当,.如果自变量的取值范围是,如果顶点在自变量的取值范围内,则当,,如果顶点不在此范围内,则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性;如果在此范围内随的增大而增大,则当时,,当时,;如果在此范围内随的增大而减小,则当时,,当时,.[例1]:求下列二次函数的最值:(1

2、)求函数的最值.解:当时,有最小值,无最大值.(2)求函数的最值.解:∵,对称轴为∴当.[例2]:某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:每涨价1元,每星期少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?解:设涨价(或降价)为每件元,利润为元,为涨价时的利润,为降价时的利润则:当,即:定价为65元时,(元)专业技术资料word资料下载可编辑当,即:定价为57.5元时,(元)综合两种情况,应定价为65元时,利润最大.[练习

3、]:1.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润?解:设每件价格提高元,利润为元,则:当,(元)答:价格提高5元,才能在半个月内获得最大利润.2.某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可

4、以获得最大营业额?解:设旅行团有人,营业额为元,则:当,(元)答:当旅行团的人数是55人时,旅行社可以获得最大营业额.x(元)152030…y(件)252010…[例3]:某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价(元)与产品的日销售量(件)之间的关系如下表:若日销售量是销售价的一次函数.⑴求出日销售量(件)与销售价(元)的函数关系式;⑵要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?解:⑴设一次函数表达式为.则解得,专业技术资料word资料下载可编辑即一次函数

5、表达式为.⑵设每件产品的销售价应定为元,所获销售利润为元当,(元)答:产品的销售价应定为25元时,每日获得最大销售利润为225元.【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似,也有区别,主要有两点:⑴在“当某某为何值时,什么最大(或最小、最省)”的设问中,“某某”要设为自变量,“什么”要设为函数;⑵求解方法是依靠配方法或最值公式,而不是解方程.3.(2006十堰市)市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品,如果以30元/千克销售,那么每天可售出400千克.由销售经验知,每天销售量(千克)与

6、销售单价(元)()存在如下图所示的一次函数关系式.⑴试求出与的函数关系式;⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元,当销售单价为何值时,每天可获得最大利润?最大利润是多少?⑶根据市场调查,该绿色食品每天可获利润不超过4480元,现该超市经理要求每天利润不得低于4180元,请你帮助该超市确定绿色食品销售单价的范围(直接写出答案).解:⑴设y=kx+b由图象可知,,即一次函数表达式为.⑵∵∴P有最大值.当时,(元)(或通过配方,,也可求得最大值)答:当销售单价为35元/千克时,每天可获得最大利润

7、4500元.⑶∵专业技术资料word资料下载可编辑∴31≤x≤34或36≤x≤39.作业布置:1.二次函数,当x=_-1,_时,y有最_小_值,这个值是.2.某一抛物线开口向下,且与x轴无交点,则具有这样性质的抛物线的表达式可能为(只写一个),此类函数都有_大_值(填“最大”“最小”).3.不论自变量x取什么实数,二次函数y=2x2-6x+m的函数值总是正值,你认为m的取值范围是,此时关于一元二次方程2x2-6x+m=0的解的情况是_有解_(填“有解”或“无解”)解:∵,要使,只有∴4.小明在某次

8、投篮中,球的运动路线是抛物线的一部分,如图所示,若命中篮圈中心,则他与篮底的距离L是4.5米.解:当时,,或(不合题意,舍去)5.在距离地面2m高的某处把一物体以初速度V0(m/s)竖直向上抛出,在不计空气阻力的情况下,其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足:S=V0t-gt2(其中g是常数,通常取10m/s2),若V0=10m/s,则该物体在运动过程中最高点距离地面__7_m.解:当时,,所以,最高点距离地面(米).6.影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数.

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