电磁场与电磁波理论(第二版)(徐立勤,曹伟)第3章习题解答

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1、第3章习题解答3.1对于下列各种电位分布，分别求其对应的电场强度和体电荷密度：(1)；(2)；(3)；(4)。解：已知空间的电位分布，由和可以分别计算出电场强度和体电荷密度。(1)(2)(3)(4)3.5如题3.5图所示上下不对称的鼓形封闭曲面，其上均匀分布着密度为的面电荷。试求球心处的电位。解：上顶面在球心产生的电位为下顶面在球心产生的电位为侧面在球心产生的电位为式中。因此球心总电位为3.6有和的两种介质分别分布在和的半无限大空间。已知时，。试求时的。解：由电场切向分量连续的边界条件可得代入电场法向方向分量满足的边界条件可得于是有3.9如题3.9图所示，有一厚度为的无限大平面层，其中充满

2、了密度为的体电荷。若选择坐标原点为零电位参考点，试求平面层之内以及平面层以外各区域的电位和电场强度。17解：由对称性可知，即。设各区域中的电位和电场强度分别为，，和，，。由电位所满足的微分方程解得由于理想介质分界面没有面电荷，所以边界条件为时时又根据对称性可知，在的平面上，电场强度是为零的，即时，。最后再选择零电位参考点使得时，。联立解得。只要利用就可以得到时，时时，¬选择不同的零电位参考点，得到的电位不同，但电场强度仍是相同的。¬根据对称性只需求出的解，即和。3.10位于和处的两个无限大导电平面间充满了的体电荷。若将处的导电平板接地，而将处的导电平板加上电压。试求板间的电位分布及电场强度

3、为零的位置。解：由于无限大导体极板之间电荷分布是只与有关，忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与有关，且满足一维泊松方程17其通解为由而由因此板间电位分布为板间电场强度为从该式可以求出电场强度为零的位置为由于我们是讨论极板内电场强度，因此零点位置为3.11如题3.11图所示的平板电容器中，分别以两种不同的方式填充两种不同的介质和。当两极板之间外加电压时，试求电容器中电位和电场的分布以及电容器的电容。解：对于图a：忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与有关，均满足一维拉普拉斯方程。且由介质分界面的边界条件可知，两种介质中的电位分布是相同的，其通解为根据已知条件和，解得和，即平板电容器中的电位分布

4、为根据，可以得到平板电容器中的电场分布为对平板上，面电荷密度分别为总电量为电容器的电容为17对于图b：忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与有关，均满足一维拉普拉斯方程。两种介质中的电位分布的通解可以分别设为和根据已知条件和，以及分界面处的边界条件和可以解得和根据，可以得到平板电容器中两种介质中的电场分布为和对平板上，面电荷密度为总电量为电容器的电容为3.12已知在半径为的无限长圆柱形体内均匀分布着电荷密度为的体电荷。圆柱体内外的介电常数分别为和。若取圆柱体的表面为零电位的参考面，试利用直接积分法求出圆柱体内外的电位和电场强度。解：取定圆柱坐标系，使轴与圆柱体的中心轴线相重合，由电位和电场的

5、对称性可知与和无关。圆柱体内外的电位和分别满足和它们的通解可以分别表示式为和由轴线上的电位应为有限值可得。而由圆柱体的表面电位为零可得和即和于是有和代入圆柱体表面电位的法向导数的边界条件得到，即。最后得到圆柱体内外的电位分别为和而圆柱体内外的电场强度分别为和173.13如题3.13图所示，半径为的无限长导体圆柱，单位长度的带电量为。其一半埋于介电常数为的介质中，一半露在空气中。试求各处的电位和电场强度。解：根据题意，空间中电位分布与和无关，均满足一维的拉普拉斯方程，即将上述两方程分别直接积分两次，得出通解为和根据不同介质分界面电位的连续性可知和，即若设无限长导体圆柱上电位为0，也即，可得，

6、即导体圆柱的面电荷密度为单位长度导体圆柱的电量为即于是得到导体圆柱外的电位和电场强度分别为和3.14如题3.14图所示同轴电容器，其中部分填充了介质，其余是空气。当外加电压时，试求电容器中的电位和电场强度的分布以及单位长度的电容。解：根据题意，空间中电位分布与和无关，均满足一维的拉普拉斯方程，即将上述两方程分别直接积分两次，得出通解为和根据不同介质分界面电位的连续性可知和，即由和可得到和可以解得和17因此电容器内电位和电场强度的分布分别为和利用可以计算出电容器内面电荷密度分布为和那么单位长度总电荷为因此单位长度的电容为3.15在介电常数为的无限大介质中，均匀分布体密度为的电荷。若在该介质中

7、挖了一个半径为的球形空腔（腔中的介电常数可视为）。利用直接积分法求出各处的电位分布和电场强度。（以球面为零电位参考点）解：根据场的对称性可知，即。设球形空腔内外的电位分别为和。解和得和考虑到时，场应是有界的，即。再利用边界连续条件时，，以及给定的零电位参考点，即时，，联立解得,和由此可得，，3.16顶端夹角为的带电导体圆锥垂直于无限大的接地导体平面，但两者之间有一缝隙。当圆锥所加电压为时，试求圆锥体与导体平面之间的电位分